Una variedad abeliana es una variedad algebraica proyectiva , que es un grupo algebraico (esto significa que la ley de composición viene dada por una función regular ).
Las variedades abelianas son objetos bien estudiados en geometría algebraica. Este concepto se utiliza en varias ramas de la geometría algebraica y la teoría de números.
Una variedad abeliana se puede definir mediante ecuaciones con coeficientes en cualquier campo k . Dicen que una variedad está sobre un campo k . Históricamente, primero se estudiaron las variedades abelianas sobre el campo de los números complejos.
Un caso especial son las variedades abelianas sobre campos numéricos algebraicos . Este caso es importante en teoría de números.
Se puede probar [1] que una variedad abeliana es conmutativa como grupo, es decir, es un grupo abeliano .
Para las variedades abelianas X, Y sobre el campo de los números complejos, el isomorfismo de variedades, bajo el cual 1 X se convierte en 1 Y , es un isomorfismo de grupo.
Un criterio para que un toro complejo dado sea una variedad abeliana, es decir si se puede incrustar un espacio proyectivo. Sea V un espacio vectorial de dimensión y L una red en V . Un toro X = V/L es una variedad abeliana solo si existe una forma hermítica definida positiva en V cuya parte imaginaria toma valores enteros en la red L × L.
Teorema de Chevalley sobre grupos algebraicos : Todo grupo algebraico G contiene un subgrupo normal N , que es una variedad afín , de modo que el grupo cociente G / N es una variedad abeliana. (El subgrupo N con esta propiedad es único).
En el caso de la dimensión 1, el concepto de variedad abeliana equivale al concepto de curva elíptica .
Para n > 1, una variedad abeliana sobre el campo de los números complejos , como espacio topológico , es homeomorfa a un toro complejo n-dimensional (tratado como una variedad proyectiva).
A principios del siglo XIX, la teoría de las funciones elípticas sentó las bases para la teoría de las integrales elípticas . Las integrales elípticas tienen raíces cuadradas de polinomios de tercer y cuarto grado. ¿Qué ocurrirá en el caso de las titulaciones superiores? Los trabajos de Abel y Jacobi consideraban funciones de dos variables complejas. Este fue el primer ejemplo de una variedad abeliana de dimensión 2 (una superficie abeliana).