Axioma volumétrico

El axioma del volumen se llama el siguiente enunciado de la teoría de conjuntos :

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2} )

Si reescribimos el axioma del volumen en la forma

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\to b\in a_{2})\ \land \ \forall b\ (b\ en a_{2}\a b\en a_{1})\a_{1}=a_{2})

entonces el axioma se puede formular de la siguiente manera:

"Cualesquiera que sean los dos conjuntos, si todos los elementos del primer conjunto pertenecen al segundo conjunto, y todos los elementos del segundo conjunto pertenecen al primer conjunto, entonces el primer conjunto es idéntico al segundo conjunto".

Otra redacción [1] :

"Dos conjuntos son iguales si y solo si están formados por los mismos elementos".

Otras formulaciones del axioma 3D

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\subseteq a_{2}\ \land \ a_{2}\subseteq a_{1}\to a_{1}=a_{ 2})$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\neq a_{2}\to \exists b\ (b\in a_{1}\ \veebar \ b\in a_{ 2})\ )$

Notas

El axioma del volumen expresa la condición necesaria para la igualdad de dos conjuntos. Una condición suficiente para la igualdad de conjuntos se deriva de los axiomas de predicado , a saber: $=$

{\ estilo de visualización \ para todos los \ (a = a)}

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\to (\varphi [a_{1}]\to \varphi [a_{2}]))

, donde es cualquier juicio matemáticamente correcto sobre , y es el mismo juicio, pero sobre .

{\ estilo de visualización \ varphi [a_ {1}]}

un_{1}

{\ estilo de visualización \ varphi [a_ {2}]}

un_{2}

Combinando la condición suficiente indicada para la igualdad de conjuntos con el axioma del volumen , obtenemos el siguiente criterio para la igualdad de conjuntos :

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2}) \ )

Este criterio de igualdad de conjuntos no es ni peor ni mejor que otros criterios similares, entre ellos:

1) criterio de igualdad de números complejos

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (x,y,u,v\in \mathbb {R} \to (x+iy=u+iv\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v))

2) criterio para la igualdad de pares ordenados

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\ (x,y)=(u,v)\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v)\ )

3) criterio para la igualdad de pares desordenados

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\{x,y\}=\{u,v\}\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v\quad \lor \quad x=v\\tierra\y=u)\ )

4) criterio de igualdad de dos sucesiones

\{x_{n}\}=\{y_{n}\}\leftrightarrow \forall i\ (i\in \mathbb {N} \to x_{i}=y_{i})

Queda claro de lo anterior que el axioma del volumen es una parte orgánica de la axiomática de la teoría de conjuntos.

El axioma del volumen se usa para probar la unicidad de un conjunto cuya existencia ya ha sido declarada [por el axioma] o establecida [por la demostración del teorema].

Ejemplos

1. Prueba de la unicidad del conjunto vacío

La existencia de [al menos un] conjunto vacío se declara mediante el axioma

\existe a\forall b\ (b\notin a)

Se requiere probar la existencia de a lo sumo un conjunto , para el cual el enunciado es verdadero $a$

\forall b\ (b\notin a)

En otras palabras, tenemos que probar

\existe \{0,1\}a\ (\forall b\ (b\notin a))

O, lo que es lo mismo, se requiere probar

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\to a_{1 }=a_{2})

Prueba

{\begin{alineado}\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\Leftrightarrow \forall b(b\notin a_{1}\ \land \ b\notin a_{2})\Rightarrow \forall b(b\notin a_{1}\leftrightarrow b\notin a_{2})\\\ \Leftrightarrow \forall b(b\in a_{1}\leftrightarrow b\en a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}\end{alineado}}

Como , la demostración de la unicidad del conjunto vacío es completa. $\existe a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \exists \{0,1\}a\forall b\ (b\notin a)\Leftrightarrow \exists \{1\}a \forall b\ (b\notin a)$

2. Prueba de la unicidad del conjunto de subconjuntos

La existencia de [al menos un] conjunto de subconjuntos se declara mediante el axioma

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Se requiere probar la existencia de a lo sumo un conjunto , para el cual el enunciado es verdadero $d$

\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

En otras palabras, tenemos que probar

\existe \{0,1\}d\ (\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a))

O, lo que es lo mismo, se requiere probar

\forall d_{1}\forall d_{2}\ (\forall b\ (b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b\ (b\in d_{ 2}\leftrightarrow b\subseteq a)\to d_{1}=d_{2})

Prueba

{\begin{alineado}\forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b(b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \forall b((b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a))\\\ \Rightarrow \forall b(b\in d_ {1}\leftrightarrow b\en d_{2})\Rightarrow d_{1}=d_{2}\end{alineado}}

Como , la demostración de la unicidad del conjunto de subconjuntos es completa. $\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \exists \{0,1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \exists \{1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$

Véase también

Axiomática de la teoría de conjuntos

Notas

↑ Stoll R. Conjuntos. Lógicas. teorías axiomáticas. - M., Ilustración, 1968. - Circulación 70.000 ejemplares. - página 13

Axioma volumétrico

Otras formulaciones del axioma 3D

Notas

Véase también

Notas

Literatura