Álgebra de operadores de vértice

Las álgebras de operadores de vértices fueron introducidas por primera vez por Richard Borcherds en 1986 . Importante para la teoría de cuerdas, la teoría de campos conformes y áreas relacionadas de la física. Los axiomas del álgebra de operadores de vértice son la interpretación algebraica formal de lo que los físicos llaman álgebra quiral .

Las álgebras de operadores de vértice han resultado útiles en áreas puramente matemáticas como la Correspondencia geométrica de Langlands y la prueba de la monstruosa conjetura sin sentido .

Ejemplos

La red Z en R da una superálgebra de operadores de vértice correspondientes a un fermión complejo . Esta es otra forma de formular la correspondencia bosónico-fermiónica . El campo fermiónico ψ( z ) y su campo conjugado ψ † ( z ) vienen dados por:

\psi (z)=\sum e_{n}z^{-n-1},\ \ \psi ^{\daga}(z)=\sum e_{n}^{*}z^{ n},\ \ \{e_{n},e_{m}\}=0,\ \ \{e_{m},e_{n}^{*}\}=\delta _{m,n}I .

Correspondencia entre fermiones y un campo bosónico cargado

\phi (z)=\sum a_{n}z^{-n-1},\ \ [a_{m},a_{n}]=m\delta _{n+m,0}I ,\ \ Ua_{n}U^{-1}=a_{n}-\delta _{n,0}I

toma la forma

\phi (z)=\;\colon \psi ^{\daga}(z)\psi (z)\colon

{\ estilo de visualización \ psi (z) = U \; \ dos puntos \ exp \ int \ phi (z) \ dos puntos}

donde los exponentes normales se interpretan como operadores de vértice.

La red √2 Z en R da el álgebra de operador de vértice correspondiente al álgebra afín de Kac-Moody para SU ( 2) en el primer nivel . Es implementado por los campos.

H(z)=\phi(z)\otimes I - I\otimes \phi(z)

E(z)=\psi(z)\otimes \psi^\daga(z)

F(z)=\psi^\daga(z)\otimes \psi(z)

Literatura

Lepowski D., Lee H. Introducción a las álgebras de operadores de vértices y sus representaciones. - Izhevsk: RHD 2008. - 424 p. — ISBN 978-5-93972-664-1
Kats VG Álgebras de vértices para principiantes / Per. De inglés. — M.: MTsNMO, 2005. — 200 p. — ISBN 5-94057-124-7 .
Shekhtman VV Álgebras de vértices relacionadas con variedades algebraicas. — págs. 91-104 Archivado el 8 de febrero de 2013 en Wayback Machine .