Algoritmo para hallar la raíz de grado n

La raíz aritmética del -ésimo grado de un $norte$ número real positivo es una solución real positiva a la ecuación (para el todo , hay soluciones complejas a esta ecuación si , pero solo una es real positiva). ${\sqrt[{n}]{A))$ $A$ $x^{n}=A$ $norte$ $norte$ $A>0$

Hay un algoritmo convergente rápido para encontrar la raíz del -ésimo grado $norte$ :

Haga una conjetura inicial ; $x_{0}$
Establecer ; $x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1 }}}}\Correcto)$
Repita el paso 2 hasta lograr la precisión deseada.

Un caso especial es la fórmula iterativa de Heron para encontrar la raíz cuadrada , que se obtiene al sustituir en el paso 2: . $n=2$ $x_{k+1}=(x_{k}+A/x_{k})/2$

Hay varias implicaciones de este algoritmo. Uno de ellos trata el algoritmo como un caso especial del método de Newton (también conocido como el método de la tangente ) para encontrar los ceros de una función , dada una suposición inicial. Aunque el método de Newton es iterativo, converge muy rápidamente. El método tiene una tasa de convergencia cuadrática; esto significa que la cantidad de bits correctos en la respuesta se duplica con cada iteración (es decir, aumentar la precisión para encontrar la respuesta de 1 a 64 bits requiere solo 6 iteraciones, pero no se olvide de la máquina) . exactitud ). Por esta razón, este algoritmo se usa en las computadoras como un método muy rápido para encontrar raíces cuadradas. $f(x)$

Para valores grandes , este algoritmo se vuelve menos eficiente, ya que se requiere un cálculo en cada paso, que, sin embargo, se puede realizar utilizando el algoritmo de exponenciación rápida . $norte$ $x_{k}^{{n-1}}$

Derivación del método de Newton

El método de Newton es un método para encontrar los ceros de una función . Esquema iterativo general: $f(x)$

Hacer una suposición inicial $x_{0};$
Establecer ; $x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k)))))$
Repita el paso 2 hasta lograr la precisión deseada.

El problema de encontrar la raíz del grado th se puede considerar como encontrar el cero de la función cuya derivada es igual a . $norte$ $f(x)=x^{n}-A$ ${\ Displaystyle f'(x)=nx^{n-1))$

Entonces el segundo paso del método de Newton toma la forma

{\begin{alineado}x_{k+1}&=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k)))))\\&= x_ {k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1))}\\&=x_{k}+{\frac {1}{n } }\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]\\&={\frac {1}{n}}\left[{ ( n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1))))\derecha].\end{alineado))

Enlaces

Atkinson, Kendall E. (1989), Introducción al análisis numérico (2ª ed.), Nueva York: Wiley, ISBN 0471624896 .