En la teoría de nudos, un diagrama de un nudo o enlace se alterna si las intersecciones se alternan: debajo, encima, debajo, encima, etc., si recorre cada componente del enlace. Un enlace es alterno si tiene un diagrama alterno.
Muchos de los nodos con intersecciones de menos de 10 se alternan. Este hecho, y las propiedades útiles de los nudos alternos, como las conjeturas de Tate , han permitido a algunos investigadores, incluido Tate, compilar tablas con relativamente pocos errores u omisiones. Los nudos simples no alternos más simples tienen 8 intersecciones (y hay tres nudos de este tipo: 8 19 , 8 20 , 8 21 ).
Existe la hipótesis de que a medida que aumenta el número de intersecciones, el porcentaje de nodos no alternos tiende a 0 exponencialmente rápido.
Los enlaces alternos juegan un papel importante en la teoría de nudos y la teoría de 3 variedades porque sus complementos tienen propiedades geométricas y topológicas útiles e interesantes. Y esto permitió a Ralph Fox plantear la pregunta: “¿Qué es un nudo alterno?” . Así, pregunta qué propiedades del complemento de un nudo, no relacionadas con los diagramas, pueden caracterizar los nudos alternos.
En noviembre de 2015, Joshua Evan Green publicó un preprint que establece una caracterización de enlaces alternos en términos de definición de superficies contratantes, es decir definiciones de enlaces alternos (entre los cuales los nudos alternos son un caso especial) sin usar el concepto de diagramas de enlaces [1] .
Diversa información geométrica y topológica se revela en diagramas alternos. La simplicidad y divisibilidad enlace es fácil de ver en el diagrama. El número de intersecciones del diagrama alternativo dado es el número de intersecciones del nudo, y esta es una de las famosas conjeturas de Tate.
Un diagrama de nudos alternos está en una correspondencia uno a uno con un gráfico plano . Cada intersección está asociada con un borde y la mitad de los componentes conectados del complemento del diagrama están asociados con vértices.
Las hipótesis de Tate:
Las dos primeras conjeturas de Tate fueron probadas por Morven B. Thistlethwaite , Louis Kaufman y K. Murasugi en 1987, y en 1991 el mismo Thistlethwaite y William Menasco demostraron la conjetura de inversión de Tate.
William Menasco , aplicando el teorema de hiperbolización de Thurston a las variedades de Haken , demostró que cualquier enlace alterno inseparable simple es hiperbólico , es decir el complemento de un enlace tiene geometría de Lobachevsky , a menos que el enlace sea tórico .
Así, el volumen hiperbólico es una invariante de muchos enlaces alternos. Mark Lakenby mostró que el volumen tiene límites lineales superior e inferior en función del número de regiones de torsión en el diagrama alterno dado.