Función analítica

Una función analítica de una variable real es una función que coincide con su serie de Taylor en la vecindad de cualquier punto en el dominio de definición.

Una función de un solo valor se llama analítica en un punto si la restricción de la función a alguna vecindad es una función analítica. Si una función es analítica en un punto , entonces lo es en todos los puntos de alguna vecindad del punto . $F$ $z_{0}$ $F$ $z_{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$

Una función analítica de un solo valor de una variable compleja es una función para la cual se satisface una de las cuatro condiciones equivalentes en algún dominio simplemente conectado , denominado dominio de analiticidad: $f(z)$ $A\subconjunto {\mathbb C}$

La serie de Taylor de la función converge en cada punto , y su suma es ( analítica en el sentido de Weierstrass ). $z\en A$ $f(z)$
En cada punto , se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann y Aquí , y son las partes real e imaginaria de la función bajo consideración. ( Analítico en el sentido de Cauchy-Riemann ). $z=x+iy\en A$ ${\frac {\parcial u}{\parcial x))={\frac {\parcial v}{\parcial y))$ ${\frac {\u parcial}{\y parcial}}=-{\frac {\v parcial}{\x parcial}}.$ $tu(z)$ $v(z)$
Una integral para cualquier curva cerrada ( analítica en el sentido de Cauchy ). $\int \limites _{\Gamma}\,f(z)\,dz=0$ $\Gamma \subconjunto A$
La función es holomorfa en el dominio . Es decir, es complejamente diferenciable en cada punto . $f(z)$ $A$ $f(z)$ $z\en A$

El curso del análisis complejo prueba la equivalencia de estas definiciones.

Propiedades

Propiedades aritméticas

Si y son analíticos en el dominio $f(z)$ $g(z)$ $G\subconjunto \mathbb {C}$

Las funciones , y son analíticas en . $f(z)\pm g(z)$ $f(z)\cdot g(z)$ $f(g(z))$ $GRAMO$
Si no se desvanece en la región , entonces será analítico en $g(z)$ $GRAMO$ ${\frac{f(z)}{g(z)))$ $GRAMO$
Si no desaparece en la región , será analítico en . $f'(z)$ $GRAMO$ $f^{{-1}}(z)$ $GRAMO$

Una función analítica es infinitamente diferenciable en su dominio de analiticidad. Para funciones complejas de una variable, lo contrario también es cierto.

Algunas propiedades de las funciones analíticas están cerca de las propiedades de los polinomios , lo que, sin embargo, no es sorprendente: la definición de analiticidad en el sentido de Weierstrass indica que las funciones analíticas son, de alguna manera, variantes limitantes de los polinomios. Supongamos, de acuerdo con el teorema fundamental del álgebra , que cualquier polinomio puede tener ceros no más que su grado. Para funciones analíticas, una declaración similar es verdadera, que se sigue del teorema de unicidad en una forma alternativa:

Si el conjunto de ceros de una función analítica en un dominio simplemente conexo tiene un punto límite en este dominio , entonces la función es idénticamente igual a cero.
Para una función de varias variables reales, ser analítica con respecto a cada una de las variables no es suficiente para que la función sea analítica. Para una función de varias variables complejas, basta que sea analítica con respecto a cada una de las variables para que la función sea analítica ( teorema de Hartogs ).

Ejemplos

Todos los polinomios en z son funciones analíticas en todo el plano . $\matemáticas {C}$

Además, las analíticas, aunque no en todo el plano complejo, son funciones racionales , funciones exponenciales , logaritmos , funciones trigonométricas , funciones trigonométricas inversas y muchas otras clases de funciones, así como sumas, diferencias, productos, funciones analíticas parciales.

Ejemplos de funciones no analíticas en include $\matemáticas {C}$

$f(z)=|z|$ ,
$f(z)=\sobrelínea {z}$ ,

ya que no tienen derivada compleja en ningún punto. En este caso, la restricción al eje real será una función analítica de la variable real (ya que coincide completamente con la restricción de la función ). $f(z)=\sobrelínea {z}$ ${\ estilo de visualización f (z) = z}$

Véase también

Literatura

Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka , 1969 . — 577 pág.
Titchmarsh E. Teoría de funciones: Per. De inglés. - 2ª ed., revisada. — M .: Nauka , 1980 . — 464 pág.
Privalov II Introducción a la teoría de funciones de variable compleja: un manual para la educación superior. - M. - L .: Editorial Estatal, 1927 . — 316 pág.
Evgrafov M. A. Funciones analíticas. - 2ª ed., revisada. y adicional — M .: Nauka , 1968 . — 472 pág.
Conway, John B. Funciones de Una Variable Compleja I. — 2do. - Springer-Verlag , 1978. - ( Textos de Posgrado en Matemáticas 11). - ISBN 978-0-387-90328-6 .
Krantz, Steven; Parques, Harold R.Unacartilla de funciones analíticas reales . — 2do. — Birkhauser, 2002. - ISBN 0-8176-4264-1 .

Enlaces

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), función analítica , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. Analytic Function (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Solver para todos los ceros de una función analítica compleja que se encuentran dentro de una región rectangular por Ivan B. Ivanov

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