Progresión aritmético-geométrica

Una progresión aritmético-geométrica es una secuencia de números dada por una relación recursiva , donde y son constantes [1] . Casos particulares de progresión aritmético-geométrica son la progresión aritmética (para ) y la progresión geométrica (para ). $Naciones Unidas}}$ $u_{{n+1}}=qu_{{n}}+d$ $q$ $d$ $q=1$ $re=0$

Fórmula de término general

Consideremos la relación inicial: en $u_{{n+1}}=qu_{{n}}+d$ $n=1,2,...$

Deje en esta relación y . Sumando la expresión a ambas partes , obtenemos $q\neq 1$ $d\neq 0$ ${\frac{d}{q-1))$

u_{n+1}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n-1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

\ldots

u_{3}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

Multiplicando las igualdades indicadas y reduciendo los mismos factores (o sustituyendo el lado izquierdo de la ecuación siguiente en el orden de los corchetes del lado derecho), obtenemos una fórmula explícita para el término de la progresión aritmético-geométrica:

u_{n+1}=q^{n}(u_{1}+{\frac {d}{q-1)))-{\frac {d}{q-1))

Propiedades

La progresión aritmético-geométrica es una sucesión recíproca de segundo orden y viene dada por la ecuación:

u_{{n+1}}=(q+1)u_{{n}}-qu_{{n-1}}

La diferencia de la progresión aritmético-geométrica está determinada por la fórmula $d$

d={\frac{u_{{n}}^{{2}}-u_{{n-1}}u_{{n+1}}}{u_{{n}}-u_{{n-1 }}}}

La sucesión es una progresión geométrica con el mismo denominador . $a_{{n}}=u_{{n+1}}-u_{{n}}$ $q$

La sucesión de sumas parciales de miembros de una progresión aritmético-geométrica es una sucesión recíproca de tercer orden y viene dada por la ecuación:

S_{{n+1}}=(q+2)S_{{n}}-(2q+1)S_{{n-1}}+qS_{{n-2}}

Si la sucesión de sumas parciales es una progresión aritmético-geométrica, entonces la sucesión misma es una progresión geométrica.

Notas

↑ Sukonnik Ya. N. Progresión aritmética-geométrica // Kvant . - 1975. - Nº 1. - S. 36-39.