Átomo Crandall

El átomo de Crandall [1] es un problema de dos electrones que admite una solución exacta. Representa electrones moviéndose en el potencial armónico del núcleo con repulsión de Coulomb entre ellos. Considerado en [2] .

Definición

Usando unidades atómicas , constante de Planck , masa , el hamiltoniano que define el átomo de Crandall se puede escribir como [2] $\hbar=1$ $metro=1$

{\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2})+{\frac { \omega ^{2}}{2}}({\textbf {r}}_{1}^{2}+{\textbf {r}}_{2}^{2})+{\frac {\ lambda }{({\textbf {r}}_{1}-{\textbf {r}}_{2})^{2}}}

donde r 1 , r 2 son las coordenadas para partículas con índices 1 y 2, ω es la pureza del oscilador, λ>0 es el coeficiente de interacción electrón-electrón. Los primeros dos términos son los operadores de energía cinética y potencial para cada electrón con índices 1 y 2, y el tercer término es el potencial electrón-electrón, que tiene el recíproco al cubo de la distancia entre las partículas.

Solución

La energía del estado es [2]

E_{n,l,m}^{n',l',m'}={\frac {\omega}{2))\left(5+4n+4n'+2l'+{\sqrt {1+4\lambda +4l(l+1)}}\derecha),

y las funciones de onda

\psi _{n,l,m}^{n',l',m'}(u,v)=e^{-{\frac {1}{2))\omega ({\textbf {u}}^{2}+{\textbf {v}}^{2})}u^{'l}v^{a}L_{n'}^{l'+1/2}(\omega u^{2})L_{n}^{a+1/2}(\omega v^{2})Y_{l',m'}(\theta_{u},\phi_{u}) Y_{l,m}(\theta_{v},\phi_{v}),

donde , L son polinomios de Laguerre , Y son armónicos esféricos y nuevas coordenadas $a={\frac {1}{2}}({\sqrt {1+4\lambda +4l(l+1)))-1),$ ${\textbf {u}}=({\textbf {r}}_{1}+{\textbf {r}}_{2})/{\sqrt {2}}),$ ${\textbf {v}}=({\textbf {r}}_{1}-{\textbf {r}}_{2})/{\sqrt {2}}.$

Notas

↑ CA Downing. Átomo de dos electrones con una interacción filtrada // Phys . Rvdo. A.- 2017.- vol. 95, . — Pág. 022105 . -doi : 10.1103 / PhysRevA.95.022105 .
↑ 1 2 3 R. Crandall, R. Whitnell y R. Bettega. Modelo atómico de dos electrones exactamente soluble (inglés) // Am. J. Phys. - 1984. - vol. 52 . - Pág. 438-442 . -doi : 10.1119/ 1.13650 .