Un sistema infinito de ecuaciones algebraicas lineales

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Un sistema infinito de ecuaciones algebraicas lineales es una generalización del concepto de sistema de ecuaciones algebraicas lineales al caso de un conjunto infinito de incógnitas, definido por métodos de análisis funcional . Tiene sentido no sobre cualquier campo , sino, por ejemplo, sobre números reales y complejos . También es posible tener una generalización directa por métodos de álgebra lineal propia , que difiere de la descrita en el artículo.

Un sistema infinito de ecuaciones algebraicas lineales aparece a menudo en el proceso de resolver varios problemas en física y tecnología utilizando el método de coeficientes indefinidos , por ejemplo, en problemas de conducción de calor, determinando el perihelio del movimiento de la Luna en astronomía, en el problema de determinación de la deflexión estática de un cuerpo rectangular con extremos fijos. [una]

Definición

Un sistema infinito de ecuaciones algebraicas lineales es un conjunto infinito de ecuaciones algebraicas de primer grado con respecto a un conjunto infinito de incógnitas: , . Una solución a un sistema infinito de ecuaciones algebraicas lineales es cualquier secuencia de números tal que todas las series converjan a . La solución de un sistema infinito de ecuaciones algebraicas lineales se llama acotada si los números forman una secuencia acotada. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty}a_{ik}x_{k}=b_{i))$ ${\ estilo de visualización i = 1,2,...}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {x_ {k} \ derecha \}}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty}a_{ik}x_{k))$ ${\ estilo de visualización i = 1,2,...}$ $bi}}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {x_ {k} \ derecha \}}$ $x_{k}$

Es conveniente considerar infinitos sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en la forma: , , . Un sistema infinito de ecuaciones algebraicas lineales se llama completamente regular si existe una constante positiva tal que . ${\displaystyle x_{i}-\sum _{k=1}^{\infty}c_{ik}x_{k}=b_{i))$ ${\ estilo de visualización i = 1,2,...}$ ${\displaystyle c_{ik}=-a_{ik}+\delta _{ik))$ $q<1$ $\sum _{k=1}^{\infty}\left|c_{ik}\right|\leqslant q$

Un sistema infinito completamente regular de ecuaciones algebraicas lineales tiene una única solución acotada para cualquier colección acotada de términos libres . Además, si para todos , entonces . [2] ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {x_ {i} \ derecha \}}$ $bi}}$ $b_{i}\leqslant B$ ${\ estilo de visualización i = 1,2,...}$ $\left|x_{i}\right|\leqslant {\frac {B}{1-q))$

Determinante infinito

En la matriz de coeficientes de un sistema lineal infinito de ecuaciones, puede dejar solo las primeras filas y columnas y formar una matriz cuadrada de tamaño a partir de ellas : $norte$ $norte$ $n\veces n$

A(n)={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatriz}}

Denotemos el determinante de esta matriz como . ${\ estilo de visualización \ Delta (n) = det (A (n))}$

Si hay un límite: , entonces se llama determinante infinito correspondiente a la matriz [3] . $\Delta =\lim _{n\to \infty}\Delta (n)$ $a_{{ij}}$

Una condición suficiente para la existencia

Representemos la matriz en una nueva forma extrayendo el sumando igual a uno de todos sus miembros diagonales: $a_{ij}$

a_{ij}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots \\a_{21}&a_{22}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots \end {vmatrix}}={\begin{vmatrix}c_{11}+1&c_{12}&\cdots \\c_{21}&c_{22}+1&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots \end{ vmatriz}}

Para que exista un determinante de matriz infinita y tenga propiedades similares a las de un determinante ordinario, es suficiente que las series dobles infinitas converjan . [3] $a_{{ij}}$ $\sum _{i,k=1}^{\infty}|c_{ik}|$

Resolver un sistema infinito de ecuaciones algebraicas lineales

Si la matriz de un sistema infinito de ecuaciones algebraicas lineales tiene un determinante infinito y no es igual a cero y todos sus términos libres están acotados en valor absoluto (es decir, hay un número positivo tal que ), entonces este sistema tiene un único solución acotada (es decir, hay un número positivo tal que , que ) determinada por las fórmulas de Cramer : $a_{{ij}}$ $M_{1}$ $|b_{k}|<M_{1},\forall k$ $M_{2}$ ${\ estilo de visualización | x_ {k} | <M_ {1}, \ para todos los k}$

x_{k}={\frac {\Delta _{k)){\Delta ))

donde es el determinante , que se obtiene a partir del determinante reemplazando los elementos de la columna k-ésima por miembros libres. [cuatro] ${\ estilo de visualización \ Delta _ {k)}$ $\Delta$

Véase también

Sistema de ecuaciones algebraicas lineales

Notas

↑ Smirnov, 1933 , pág. 57-61.
↑ Vulikh, 1958 , pág. 215-218.
↑ 1 2 Smirnov, 1933 , pág. 64.
↑ Smirnov, 1933 , pág. sesenta y cinco.

Literatura

Vulikh B.Z. Introducción al análisis funcional. - M. : Fizmatlit, 1958. - 352 p. - 7500 copias.
Smirnov V. I. Curso de matemáticas superiores para técnicos y físicos. Volumen 3. - M. : Gostekhteorizdat, 1933. - 736 p. — 22.000 copias.