Bloque hamiltoniano

El bloque hamiltoniano es un hamiltoniano que describe el comportamiento crítico de un imán cerca del punto de una transición de fase de segundo orden .

Tema

Se considera un imán en la vecindad del punto de Curie . El comportamiento de un imán en esta región está determinado por la divergencia de una serie de características termodinámicas (como la capacidad calorífica , la susceptibilidad ). La hipótesis termodinámica de la similitud conecta todas las divergencias con un crecimiento ilimitado de la longitud de correlación . La longitud de correlación se mide directamente usando experimentos de dispersión de neutrones. El propósito de este artículo es describir cómo obtener un hamiltoniano que defina convenientemente el sistema en condiciones de correlaciones crecientes.

Hamiltonianos celulares

Dado que los fenómenos críticos y la formación de una red cristalina y capas atómicas internas no están conectados entre sí de ninguna manera, consideraremos que este último está dado. Suponiendo que los fenómenos críticos se deben al comportamiento colectivo a gran escala de los espines de los electrones , encontramos que, con toda probabilidad, no necesitamos conocer la estructura de la banda y muchos otros detalles; solo necesitamos conocer su efecto general en el interacción entre los espines de los electrones. En este caso, se pueden hacer simplificaciones aún más fuertes. Considere los espines clásicos, uno en cada celda elemental de una red cristalina dada con una interacción espín-espín conocida. Descuidaremos la naturaleza cuántica, el movimiento de los electrones y muchos otros detalles. Ejemplos de modelos que operan con tales supuestos son el modelo de Ising y el modelo de Heisenberg .

Asignamos a cada celda una variable de espín , que sirve como medida del espín total de la celda c. En total, la red contiene celdas y, en consecuencia, variables de espín. Llamaremos a estas variables giros de celda. La energía de espín es una función de las variables de espín. Este es el hamiltoniano de espín celular. Llamémoslo la celda hamiltoniana. $\sigma _{{c}}$ $L^{3}$ $L^{3}$ ${\sombrero {H}}[\sigma]$

modelo Ising

Este modelo se caracteriza por una celda hamiltoniana de la forma

${\sombrero {H}}[\sigma ]={\frac {1}{2}}J\sum_{{c}}\sum_{{r}}'(\sigma_{{c}}- \sigma _{{c+r}})^{2},\qquad (1)$

donde la suma sobre r se toma solo sobre los vecinos más cercanos de la celda c. Las variables de espín sólo pueden tomar dos valores . El hamiltoniano (1) permite la forma más sencilla de reflejar el hecho de que la energía para espines con orientación idéntica es menor que para espines con orientación opuesta. J - " energía de intercambio ". $\sigma _{{c}}=\pm 1$

El modelo de Heisenberg

El modelo de Heisenberg es una generalización del modelo de Ising para el caso en que el giro puede orientarse de manera arbitraria. Para describir cada giro, necesitamos un vector

$\sigma_{{c}}=(\sigma_{{1c}},\sigma_{{2c}},\sigma_{{3c}}).\qquad (2)$

Para , se introduce el producto escalar habitual y se conserva la apariencia del hamiltoniano (1). $\sigma _{{c}}$

Modelo XY

El modelo XY es un caso intermedio entre el modelo de Ising y el modelo de Heisenberg. Sirve para describir imanes con giros orientados principalmente en un plano.

Construcción del bloque hamiltoniano, la transformación de Kadanoff

En condiciones de aumento de la longitud de correlación, es razonable suponer que el comportamiento crítico de un imán no dependerá de los espines de células elementales específicas, sino que estará determinado por los valores medios de los espines de regiones enteras. de la muestra en estudio. Construyamos un bloque hamiltoniano en función de tales medios. Tal construcción se llama la transformación de Kadanoff .

La primera forma

Construyamos un hamiltoniano de bloques que describa la interacción entre los espines de los bloques. Para ello, dividimos el cristal en bloques cúbicos del tamaño de celdas elementales, donde d es la dimensión del espacio en el que se está estudiando el sistema. Para cada bloque, definimos el giro del bloque como la suma de los giros de las celdas dividida por . Los parámetros del bloque hamiltoniano resumen los detalles esenciales del comportamiento del sistema en la escala de b constantes de red. $b^{d}$ $b^{d}$

Sea la probabilidad de encontrar un sistema con una distribución dada de espines sobre las celdas igual a

$P[\sigma]\sim exp[-{\hat {H}}[\sigma]/T].\qquad (3)$

Entonces, la probabilidad de encontrar un sistema con una distribución dada de giros de bloque se expresará como

$P'[\sigma ]\sim \int e^{{-{\hat {H}}[\sigma ]/T}}\prod_{{i,x}}\delta (\sigma_{{i, x}}-b^{{-d}}\sum_{{c}}^{{x}}\sigma_{{i,c}})\prod_{{j,c}}d\sigma _{{j,c}}\equiv e^{{-{\hat {H'}}[\sigma ]/T)),\qquad (4)$

esta fórmula se puede tomar como la definición del bloque hamiltoniano . ${\sombrero {H'}}[\sigma]$

$K_{{b}}{\sombrero {H}}[\sigma]={\sombrero {H'}}[\sigma]\qquad (5)$

La propiedad de la transformación de Kadanoff es obvia

$K_{{b_{{1}}}}K_{{b_{{2}}}}{\sombrero {H}}[\sigma]=K_{{b_{{1}}*b_{{2}} }}{\sombrero {H}}[\sigma].\qquad (6)$

La segunda forma

Considere la celda hamiltoniana como una función de los componentes de Fourier ${\sombrero {H}}[\sigma]$ $\sigma _{{k}}$

$\sigma _{{c}}=L^{{-d/2}}\sum _{{k}}e^{{ik*c}}\sigma _{{k}},\quad \sigma _ {{k}}=L^{{-d/2}}\sum_{{c}}e^{{-ic*k}}\sigma_{{c}}.\qquad (7)$

Introducimos ahora el bloque hamiltoniano de la siguiente manera

$P'\sim \int e^{{-{\hat {H}}[\sigma ]/T}}\prod_{{i,k>\Lambda }}d\sigma_{{i,k}} \equiv e^{{-{\hat {H'}}[\sigma ]/T)),\qquad (8)$

en este caso, el giro del bloque se define como

$\sigma (x)=L^{{-d/2}}\sum_{{k<\Lambda }}e^{{ik*x}}\sigma_{{k}},\qquad (9)$

y describe la configuración de espín en escalas de hasta $b\sim\Lambda ^{{-1}}$

Nota

La primera y la segunda forma de definir el bloque hamiltoniano no son completamente equivalentes y definen objetos formalmente diferentes.

Literatura

1. Ma Sh. Teoría moderna de los fenómenos críticos. — M.: Mir, 1980. — 297 p.

2. A. N. Vasil'ev, grupo de renormalización de campos cuánticos en la teoría del comportamiento crítico y la dinámica estocástica. - San Petersburgo: Editorial PNPI, 1998. - 774 p. — ISBN 5-86763-122-2