Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores en el espacio euclidiano tridimensional es un vector perpendicular a ambos vectores originales, cuya longitud es numéricamente igual al área del paralelogramo formado por los vectores originales, y se determina la elección de dos direcciones. de modo que el triple de los vectores en orden en el producto y el vector resultante es correcto . El producto vectorial de vectores colineales (en particular, si al menos uno de los factores es un vector cero ) se considera igual al vector cero.

Así, para determinar el producto vectorial de dos vectores, es necesario especificar la orientación del espacio, es decir, decir qué terna de vectores es la derecha y cuál es la izquierda. En este caso, no es obligatorio establecer ningún sistema de coordenadas en el espacio considerado . En particular, para una orientación espacial dada, el resultado de un producto vectorial no depende de si el sistema de coordenadas considerado es derecho o izquierdo. En este caso, las fórmulas para expresar las coordenadas del producto vectorial en términos de las coordenadas de los vectores originales en los sistemas de coordenadas rectangulares ortonormales derecha e izquierda difieren en signo.

El producto vectorial no tiene las propiedades de conmutatividad y asociatividad . Es anticonmutativo y, a diferencia del producto escalar de vectores , el resultado es nuevamente un vector.

Útil para "medir" la perpendicularidad de los vectores: el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al producto de sus módulos si son perpendiculares y se reduce a cero si los vectores son colineales .

Ampliamente utilizado en muchas aplicaciones técnicas y físicas. Por ejemplo, el momento angular y la fuerza de Lorentz se escriben matemáticamente como un producto cruzado.

Historia

El producto vectorial fue introducido por W. Hamilton en 1846 [1] simultáneamente con el producto escalar en relación con los cuaterniones , respectivamente, como la parte vectorial y escalar del producto de dos cuaterniones, cuya parte escalar es igual a cero [2 ] .

Definición

El producto vectorial de un vector por un vector en el espacio euclidiano tridimensional es un vector que cumple los siguientes requisitos: ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$ ${\ vec {c}}$

la longitud del vector es igual al producto de las longitudes de los vectores por el seno del ángulo entre ellos (es decir, el área del paralelogramo formado por los vectores y ); ${\ vec {c}}$ ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$ ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$
el vector es ortogonal a cada uno de los vectores y ; ${\ vec {c}}$ ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$
el vector está dirigido para que el triple de vectores sea recto . ${\ vec {c}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Designaciones:

{\vec {c}}=[{\vec {a}}{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\ vec {a}}\veces {\vec {b}}={\vec {a}}\cuña {\vec {b}}.

Notas

Como definición, puede usar la expresión de producto cruzado que se describe a continuación en coordenadas en el sistema de coordenadas rectangulares derecho (o izquierdo) .

Además, se puede tomar como definición inicial un conjunto de propiedades algebraicas del producto vectorial.

Triples derecha e izquierda de vectores en el espacio euclidiano tridimensional

Considere un triple ordenado de vectores no complanares ( linealmente independientes ) en un espacio euclidiano tridimensional. En un espacio orientado , tal terna de vectores será "derecha" o "izquierda". ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Definición geométrica

Combinemos los orígenes de los vectores en un punto. Un triple ordenado de vectores no coplanares en un espacio tridimensional se llama derecho , si desde el final del vector el giro más corto de vector a vector es visible para el observador en sentido antihorario . Por el contrario, si el giro más corto se ve en el sentido de las agujas del reloj , entonces el tres se llama a la izquierda . ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ ${\ vec {c}}$ ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$

Mano definición

Otra definición está asociada con la mano derecha de una persona, de donde se toma el nombre. En la figura, el triple de vectores , , es correcto . ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$ ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$

Definición algebraica

También existe una forma analítica de determinar el triple derecho e izquierdo de los vectores, que requiere establecer el sistema de coordenadas derecho o izquierdo en el espacio en consideración, y no necesariamente rectangular y ortonormal .

Es necesario hacer una matriz, cuya primera fila serán las coordenadas del vector , la segunda, el vector , la tercera, el vector . Entonces, dependiendo del signo del determinante de esta matriz, podemos sacar las siguientes conclusiones: ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$ ${\ vec {c}}$

Si el determinante es positivo, entonces el triple de vectores tiene la misma orientación que el sistema de coordenadas .
Si el determinante es negativo, entonces el triple de vectores tiene una orientación opuesta a la del sistema de coordenadas .
Si el determinante es cero, entonces los vectores son coplanares (linealmente dependientes).

Notas

Las definiciones de la terna de vectores "derecha" e "izquierda" dependen de la orientación del espacio, pero no requieren que se especifique ningún sistema de coordenadas en el espacio bajo consideración , al igual que la definición del producto vectorial en sí misma no requiere este. En este caso, las fórmulas para expresar las coordenadas del producto vectorial a través de las coordenadas de los vectores originales diferirán en signo en los sistemas de coordenadas rectangulares derecha e izquierda .

Todas las ternas de vectores derechas entre sí (y izquierdas entre sí) se denominan igualmente orientadas .

Para una orientación espacial dada, el sistema de coordenadas se llama derecho ( izquierda ) si el triple de vectores con coordenadas , , es derecho (izquierda). ${\ estilo de visualización (1,0,0)}$ ${\ estilo de visualización (0,1,0)}$ ${\ estilo de visualización (0,0,1)}$

La definición geométrica y la definición con la ayuda de la mano determinan la orientación del espacio. La definición algebraica especifica una forma de dividir triples de vectores no coplanares en dos clases de vectores igualmente orientados, pero no especifica la orientación del espacio, sino que usa la ya dada, la que se basa en la coordenada dada. sistema se considera derecho o izquierdo. En este caso, si se desconoce la orientación del sistema de coordenadas, puede comparar el signo del determinante con el signo del determinante de otro triple de vectores no coplanares, cuya orientación se conoce, si los signos son los mismos. , entonces las ternas están igualmente orientadas, si los signos son opuestos, las ternas están orientadas de manera opuesta.

Propiedades

Propiedades geométricas del producto vectorial

Una condición necesaria y suficiente para la colinealidad de dos vectores distintos de cero es la igualdad de su producto vectorial a cero.
El módulo del producto vectorial es igual al área del paralelogramo , construido sobre los vectores reducidos a un origen común y (ver Figura 1). ${\ estilo de visualización [{\ vec {a)], \; {\ vec {b}}]}$ $S$ ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$
Si es un vector unitario ortogonal a los vectores y y y elegido de modo que el triple sea recto, y es el área del paralelogramo construida sobre ellos (reducida a un origen común), entonces la siguiente fórmula es cierta para el producto vectorial : $\vec{e}$ ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {e}}$ $S$

[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=S\cdot {\vec {e}}.

Si es cualquier vector, es cualquier plano que contiene este vector, es un vector unitario que se encuentra en el plano y es ortogonal a , es un vector unitario ortogonal al plano y está dirigido de modo que el triple de vectores sea recto, entonces para cualquier vector que se encuentre en el avión la fórmula es válida ${\ vec {c}}$ $\Pi$ $\vec{e}$ $\Pi$ ${\ vec {c}}$ ${\vec{g}}$ $\Pi$ ${\vec {e}},{\vec {c}},{\vec {g}}$ $\Pi$ ${\ vec {a}}$

[{\vec {a)],\;{\vec {c}}]=\mathrm {Pr}_{\vec {e}}{\vec {a}}\cdot |{\vec { c}}|\cdot {\vec {g}}.

Al usar productos vectoriales y escalares, puedes calcular el volumen de un paralelepípedo construido sobre los vectores a , b y c reducidos a un origen común (ver Figura 2). Tal producto de tres vectores se llama mixto .

V=|\langle {\vec {a)],\;[{\vec {b)],\;{\vec {c))]\rangle |.

La figura muestra que este volumen se puede encontrar de dos maneras: el resultado geométrico se conserva incluso cuando se intercambian los productos "escalar" y "vectorial":

V=\langle [{\vec {a)],\;{\vec {b))],\;{\vec {c))\rangle =\langle {\vec {a)),\ ;[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]\rangle .

El valor del producto vectorial depende del seno del ángulo entre los vectores originales, por lo que el producto vectorial puede considerarse como el grado de "perpendicularidad" de los vectores, al igual que el producto vectorial puede considerarse como el grado de "paralelismo". El producto vectorial de dos vectores unitarios es igual a 1 (un vector unitario) si los vectores iniciales son perpendiculares, e igual a 0 (vector cero) si los vectores son paralelos o antiparalelos.

Propiedades algebraicas del producto vectorial

Además , y denotan, respectivamente, el producto vectorial y escalar de los vectores y . ${\ estilo de visualización [{\ vec {a)], \; {\ vec {b}}]}$ $\langle {\vec {a)],\;{\vec {b}}\rangle$ ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$

Actuación	Descripción
$[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}}]$	Anticonmutatividad .
$[\alpha \cdot {\vec {a)],\;{\vec {b))]=[{\vec {a)],\;\alpha \cdot {\vec {b))] =\alfa \cdot [{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$	Asociatividad de la multiplicación por un escalar.
$[{\vec {a}}+{\vec {b)],\;{\vec {c}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {c}}] +[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]$	Distributividad con respecto a la suma.
$[[{\vec {a)],\;{\vec {b))],\;{\vec {c}}]+[[{\vec {b)],\;{\vec {c}}],\;{\vec {a}}]+[[{\vec {c}},{\vec {a}}],\;{\vec {b}}]={\vec {0}}$	identidad jacobi .
$[{\vec {a)],\;{\vec {a}}]={\vec {0}}$
$[{\vec {a)],\;[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]]={\vec {b}}\cdot \langle {\vec { a)),\;{\vec {c}}\rangle -{\vec {c}}\cdot \langle {\vec {a)],\;{\vec {b}}\rangle$	Fórmula "BAC menos CAB", identidad de Lagrange .
$\|[{\vec {a)],\,{\vec {b))]\|^{2}+\langle {\vec {a)),\,{\vec {b))\rangle ^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}\cdot \|{\vec {b}}\|^{2}$	Un caso especial de la multiplicatividad de la norma del cuaternión .
$\langle [{\vec {a)],\,{\vec {b))],\,{\vec {c))\rangle =\langle {\vec {a)),\,[ {\vec {b)],\,{\vec {c}}]\rangle$	El valor de esta expresión se llama producto mixto de los vectores , , . $a$ $b$ $C$

Expresión en coordenadas

En una base ortonormal derecha

Si dos vectores y están representados en la base ortonormal derecha por las coordenadas $\vec un$ ${\ estilo de visualización {\ vec {b))}$

{\vec {a}}=(a_{x},\;a_{y},\;a_{z}),

{\vec {b}}=(b_{x},\;b_{y},\;b_{z}),

entonces su producto vectorial tiene coordenadas

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{ x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}).

Para recordar esta fórmula, es conveniente utilizar el determinante mnemotécnico :

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{ x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatriz}},

donde , , o ${\ estilo de visualización \ mathbf {i} = (1,0,0)}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {j} = (0,1,0)}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {k} = (0,0,1)}$

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j }b_{k},

donde está el símbolo de Levi-Civita . $\varepsilon_{{ijk}}$

En una base ortonormal izquierda

Si la base se deja ortonormal, entonces el producto vectorial en coordenadas tiene la forma

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z},\;a_{x}b_{ z}-a_{z}b_{x},\;a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}).

Para recordar, de manera similar:

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_ {x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatriz}},

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]_{i}=-\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\cdot a_{j}\cdot b_{k}.

Las fórmulas para el sistema de coordenadas izquierdo se pueden obtener a partir de las fórmulas para el sistema de coordenadas derecho escribiendo los mismos vectores en el sistema de coordenadas auxiliar derecho ( ): $\vec un$ ${\ estilo de visualización {\ vec {b))}$ ${\mathbf i}'={\mathbf i},{\mathbf j}'={\mathbf j},{\mathbf k}'=-{\mathbf k}$

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\ \a'_{x}&a'_{y}&a'_{z}\\b'_{x}&b'_{y}&b'_{z}\end{vmatrix}}={\begin{ vmatriz}\mathbf {i} &\mathbf {j} &-\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&-a_{z}\\b_{x}&b_{y}&-b_{ z}\end{vmatriz}}=-{\begin{vmatriz}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_ {x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatriz}}.

En un sistema de coordenadas afín arbitrario

El producto vectorial en un sistema de coordenadas afín arbitrario tiene coordenadas $O{\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}$

$[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}[{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e} }_{3}]&[{\vec {e}}_{3},\;{\vec {e}}_{1}]&[{\vec {e}}_{1},\; {\vec {e}}_{2}]\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatriz}}.$

Variaciones y generalizaciones

Cuaterniones

Las coordenadas de un producto vectorial en una base ortonormal derecha también se pueden escribir en forma de cuaterniones , por lo que las letras , , son la notación estándar para orts en : se tratan como cuaterniones imaginarios. ${\ matemáticas yo}$ ${\matemáticas j}$ ${\matemáticas k}$ $\mathbb{R} ^{3}$

Tenga en cuenta que las relaciones de productos cruzados entre , y corresponden a las reglas de multiplicación para los cuaterniones , y . Si representamos un vector como un cuaternión , entonces el producto vectorial de dos vectores se obtiene tomando la parte vectorial del producto de los cuaterniones correspondientes. El producto escalar de estos vectores es el opuesto del producto escalar de estos cuaterniones. ${\ matemáticas yo}$ ${\matemáticas j}$ ${\matemáticas k}$ $i$ $j$ $k$ $(a_{1},\;a_{2},\;a_{3})$ $a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$

Transformación a forma matricial

El producto vectorial de dos vectores en coordenadas en la base ortonormal derecha se puede escribir como el producto de una matriz asimétrica y un vector:

[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=[{\vec {a}}]_{\times }{\vec {b}}={\begin{bmatrix }\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\, a_{1}&\,0\end{bmatriz}}{\begin{bmatriz}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatriz}},

[{\vec {b)],\;{\vec {a}}]={\vec {b}}^{T}[{\vec {a}}]_{\times }={ \begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2} \\\,\,\,a_{3}&\,0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatriz}},

dónde

[{\vec {a}}]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}& \,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\ ,\,0\end{bmatriz}}.

Sea igual al producto vectorial: ${\ vec {a}}$

{\vec {a}}=[{\vec {c}},\;{\vec {d}}],

después

[{\vec {a}}]_{\times }=({\vec {c}}{\vec {d}}^{T})^{T}-{\vec {c}} {\ vec {d}}^{T}.

Esta forma de notación hace posible generalizar el producto vectorial a dimensiones más altas, representando pseudovectores ( velocidad angular , inducción , etc.) como matrices sesgadas simétricas. Está claro que tales cantidades físicas tendrán componentes independientes en el espacio bidimensional. En el espacio tridimensional se obtienen tres componentes independientes, por lo que dichas cantidades pueden representarse como vectores de este espacio. $n(n-1)/2$ $norte$

Esta forma de notación también suele ser más fácil de trabajar (por ejemplo, en geometría epipolar ).

De las propiedades generales del producto vectorial se sigue que

[{\vec {a}}]_{\times }\,{\vec {a}}={\vec {0}}

{\vec {a}}^{T}\,[{\vec {a}}]_{\times }={\vec {0}},

y como es sesgadamente simétrico, entonces ${\ estilo de visualización [{\ vec {a}}] _ {\ veces}}$

{\vec {b}}^{T}\,[{\vec {a}}]_{\times }\,{\vec {b}}=0.

En esta forma de notación, la identidad de Lagrange se demuestra fácilmente (la regla "BAC menos CAB").

Extensión a matrices

En el caso tridimensional, se puede definir en coordenadas de forma arbitraria el producto vectorial de matrices y el producto de una matriz por un vector. Esto hace que el isomorfismo anterior sea obvio y nos permite simplificar muchos cálculos. Representemos la matriz como una columna de vectores, entonces $A$

{\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {a}}_{2}\\{\vec {a}}_{3}\end{bmatrix }}\times {\vec {b}}={\begin{bmatriz}{\vec {a}}_{1}\times {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{2 }\times {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{3}\times {\vec {b}}\end{bmatriz}},

{\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {a}}_{2}\\{\vec {a}}_{3}\end{bmatrix }}\cdot {\vec {b}}={\begin{bmatriz}{\vec {a}}_{1}\cdot {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{2 }\cdot {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{3}\cdot {\vec {b}}\end{bmatriz}}.

La multiplicación matriz-vector de la izquierda se define de manera similar cuando se representa como una cadena de vectores. La transposición de una matriz, respectivamente, traduce una fila de vectores en una columna de vectores, y viceversa. Es fácil generalizar muchas relaciones para vectores a relaciones para vectores y matrices, por ejemplo ( es una matriz, , son vectores): $A$ $A$ ${\vec x}$ ${\vec{y}}$

A\cdot ({\vec {x))\times {\vec {y)))=(A\times {\vec {x)))\cdot {\vec {y)),

A\times ({\vec {x}}\times {\vec {y}})={\vec {x}}(A\cdot {\vec {y}})-{\vec {y }} }}(A\cdot {\vec {x}}).

Después de eso, puedes cambiar la notación del producto vectorial:

{\vec {x}}\times {\vec {y}}=E\cdot ({\vec {x}}\times {\vec {y}})=(E\times {\vec { x)))\cdot {\vec {y)),

$mi$ es la matriz identidad. A partir de esto, la existencia y la forma de la matriz correspondiente a la multiplicación de vectores por un vector de la izquierda son obvias. De manera similar, se puede obtener una expresión para la matriz de multiplicación mediante el vector de la derecha. Al extender las operaciones en vectores a matrices componente por componente, representándolos como "vectores de vectores", las relaciones estándar para vectores se generalizan fácilmente a matrices. Por ejemplo, el teorema de Stokes en toma la forma: $\mathbb{R} ^{3}$

\int \limits _{{\Sigma }}\operatorname {rot}\,{\mathbf {A^{T}}}\,{\mathbf {d\Sigma }}=\int \limits_{{\parcial \Sigma }}{\mathbf {A}}\cdot \,d{\mathbf {r}},

donde el rotacional de la matriz se calcula como el producto vectorial de la matriz y el operador de Hamilton a la izquierda (se supone que la base es ortonormal a la derecha). En esta notación, es muy fácil demostrar, por ejemplo, las siguientes formas del teorema de Stokes: $A$ $A$

\int \limits _{{\Sigma }}\operatorname {grado}\,u\times \,{\mathbf {d\Sigma }}=\int \limits _({\parcial \Sigma }}u\,d {\ matemáticas {r}),

\int \limits _{{\Sigma }}\left[{\mathbf {d\Sigma }};\left[\nabla ;{\mathbf a}\right]\right]=\int \limits_{{\ \Sigma parcial }}{\mathbf a}\times d{\mathbf {r}}.

Dimensiones no iguales a tres

Sea la dimensión del espacio. $norte$

Un producto vectorial que tiene todas las propiedades de un producto vectorial tridimensional ordinario, es decir, un mapeo no degenerado antisimétrico bilineal binario , solo puede introducirse para las dimensiones 3 y 7 . ${\mathbb {R}}^{n}\times {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}$

Sin embargo, existe una generalización simple a otras dimensiones naturales, a partir de la 3, y, si es necesario, a la dimensión 2 (esta última, sin embargo, de forma relativamente específica). Luego, esta generalización, a diferencia de la imposible descrita anteriormente, no se introduce para un par de vectores, sino solo para un conjunto de vectores factoriales. Es bastante análogo al producto mixto , que se generaliza naturalmente en el espacio bidimensional a la operación con factores. Usando el símbolo de Levi-Civita con índices, uno puede escribir explícitamente un producto cruzado -valente como $(n-1)$ $norte$ $norte$ $\varepsilon _{{i_{1}i_{2}i_{3}\ldots i_{n}}}$ $norte$ $(n-1)$

P_{i}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\dotsc )=\sum _{j,k,m,\dotsc =1}^{n}\ varepsilon _ {ijk\ldots }a_{j}b_{k}c_{m}\ldots =\det \left({\begin{pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf { e_{n}} \end{pmatrix}},\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\ldots \right)\cdot \mathbf {e_{i}} ,

$\mathbf {P} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n-1}} )=\det \left({\begin {pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf {e_{n}} \end{pmatrix}},\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} , \ldots,\mathbf {a_{n-1}} \right)={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\cdots &\mathbf {e_{n }} \\a_{1_{1}}&a_{1_{2}}&\cdots &a_{1_{n}}\\a_{2_{1}}&a_{2_{2}}&\cdots &a_{2_ {n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n-1_{1}}&a_{n-1_{2}}&\cdots &a_{n-1_{n}}\ fin{vmatriz}}.$

Tal generalización produce una hiperárea de dimensión . $n-1$

Si necesita introducir una operación para solo dos factores, que tiene un significado geométrico extremadamente cercano al significado de un producto vectorial (es decir, que representa un área orientada), entonces el resultado ya no será un vector, ya que en factores Se puede introducir un bivector cuyas componentes sean iguales a las proyecciones del área orientada del paralelogramo atravesada por un par de vectores sobre los planos de coordenadas: $n\neq 3$

\ P_{{ij))({\mathbf {a,b))=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}

Esta construcción se llama el producto exterior .

Para el caso bidimensional, la operación

\ P({\mathbf {a,b}})=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}

se denomina producto pseudoescalar porque el espacio resultante es unidimensional y el resultado es un pseudoescalar . (El producto externo de dos índices descrito anteriormente también se puede introducir para un espacio bidimensional, pero obviamente está relacionado de manera bastante trivial con el producto pseudoescalar, es decir, el producto externo en este caso está representado por una matriz con ceros en la diagonal , y los dos elementos fuera de la diagonal restantes son iguales al producto pseudoescalar y menos el producto pseudoescalar).

Álgebra de mentiras de vectores

El producto vectorial introduce la estructura del álgebra de Lie (porque satisface ambos axiomas: la antisimetría y la identidad de Jacobi ). Esta estructura corresponde a la identificación con el álgebra de Lie tangente al grupo de Lie de las transformaciones lineales ortogonales del espacio tridimensional. ${\ matemáticas {R}}^{3}}$ $\mathbb{R} ^{3}$ $entonces (3)$ $SO(3)$

Véase también

Productos de vectores

Producto pseudoescalar (¡solo en el plano!)
Producto escalar de vectores
Producto mixto (escalar-vectorial) de vectores (solo en ) ${\ matemáticas {R}}^{3}}$
Producto doble (vector-vector) de vectores (solo en ) ${\ matemáticas {R}}^{3}}$
Producto vectorial en un espacio de siete dimensiones.

Otro

Notas

↑ Crowe MJ Una historia del análisis vectorial: la evolución de la idea de un sistema vectorial . - Publicaciones Courier Dover, 1994. - S. 32. - 270 p. — ISBN 0486679101 .
↑ Hamilton WR Sobre los cuaterniones; o sobre un Nuevo Sistema de Imaginarios en Álgebra // Revista Filosófica. 3ra Serie. - Londres, 1846. - T. 29 . - S. 30 .

Literatura

1. Kochin NE Cálculo vectorial y los inicios del cálculo tensorial. Academia de Ciencias de la URSS: Editorial "NAUKA", M. 1965.

Enlaces

Arte vectorial multidimensional Archivado el 5 de septiembre de 2015 en Wayback Machine .
Producto vectorial y sus propiedades. Ejemplos de resolución de problemas Archivado el 23 de febrero de 2011 en Wayback Machine .
V. I. Gervids. Rotación derecha e izquierda . NRNU MEPhI (03.10.2011). - Demostraciones físicas. Consultado el 3 de mayo de 2011. Archivado desde el original el 23 de diciembre de 2015. (indefinido)

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacios	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro