Wronskiano

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Wronskian , o el determinante de Wronsky , es una función definida para un sistema de funciones en un intervalo que son tiempos diferenciables . Se da como el determinante de la siguiente matriz : ${\ estilo de visualización W (f_ {1}, \ puntos f_ {n}) (x)}$ $f_1(x),\ldots f_n(x)$ $yo$ $(n-1)$

W(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1(x) & f_2(x) &\cdots & f_n(x) \\ f'_1(x) & f'_2(x) ) & \cdots & f'_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x ) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I,

Un wronskiano es también una función definida por un determinante de una forma más general. Es decir, sean n funciones vectoriales con n componentes: . Entonces el determinante se verá así (para evitar discrepancias, lo denotamos por ): $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $f_i=(f_i^1, \ldots,f_i^n)$ $W_2$

W_2(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1^1(x) & f_2^1(x) &\cdots & f_n^1(x) \\ f_1^2(x) & f_2^2(x) & \cdots & f_n^2(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^n(x) & f_2^n(x) & \cdots & f_n ^n(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I,

Nombrado en honor al matemático polaco Józef Wronski . El término "wronskiano" fue propuesto por el matemático escocés Thomas Muir en su monografía de 1882 sobre determinantes [1] .

El determinante de Vronsky se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales , por ejemplo, para averiguar si las soluciones encontradas para una ecuación diferencial lineal homogénea (o sistema de ecuaciones) son linealmente independientes. Esto ayuda a encontrar su solución general .

Propiedades

Si son linealmente dependientes de , entonces . $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $yo$ $\forall x\in I\quad W(x)=0$

Si el determinante de Wronsky en el intervalo no es igual a cero al menos en un punto, entonces las funciones son linealmente independientes (consecuencia directa de la propiedad anterior). Lo contrario generalmente no es cierto (ver ejemplo 3), pero para el caso en que las funciones son soluciones de una ecuación diferencial, los corolarios más fuertes serán ciertos (ver más abajo). $f_1(x), \ldots , f_n(x)$

Si son soluciones de una ecuación diferencial homogénea lineal del orden th, entonces se llama el Wronskiano de esta ecuación . El determinante de Wronsky de una ecuación diferencial homogénea es idénticamente igual a cero, lo que significa que son linealmente dependientes, o no desaparece en ningún punto , lo que significa que las funciones son linealmente independientes . $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $norte$ $W(f_1, \ldots,f_n)$ $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $yo$ $f_1(x), \ldots , f_n(x)$

$W'(x) = W_1(x) + W_2(x) + \cdots + W_n(x)$ , donde es el determinante de Wronsky, en el que la fila con el número i se reemplaza por una fila de derivadas: $Wisconsin$

$W_i(x) = \det\begin{pmatrix} f_{11}(x) & f_{12}(x) &\cdots & f_{1n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ vdots \\ f_{i1}'(x) & f_{i2}'(x) & \cdots & f_{in}'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{n1 }(x) & f_{n2}(x) & \cdots & f_{nn}(x) \end{pmatriz}$

Esta fórmula es válida para diferenciar los determinantes de cualquier matriz cuadrada.

Ejemplos

Verifiquemos que el Wronskiano de las funciones linealmente dependientes es igual a cero: $1, x^2, 3+2x^2$

W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatriz} 1 & x^2 & 3+2x^2 \\ 0 & 2x & 4x \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatriz} = 8x- 8x = 0,\qquad x\in\mathbb R.

Veamos ahora la independencia lineal de las funciones $1,x,x^3$

W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatriz} 1 & x & x^3\\ 0 & 1 & 3x^2 \\ 0 & 0 & 6x \end{vmatriz} = 6x, \qquad x\in\mathbb R.

Hay puntos donde el Wronskiano es distinto de cero (en nuestro caso, este es cualquier punto excepto x=0). Por lo tanto, en cualquier intervalo, estas funciones serán linealmente independientes.

Demos ahora un ejemplo en el que Wronskian es cero en todas partes, pero las funciones siguen siendo linealmente independientes. Definamos dos funciones:

f_1(x)=x^2;\qquad f_2(x) = \begin{casos} -x^2, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0. \end{casos}

Ambas funciones son derivables en todas partes (incluso en cero, donde las derivadas de ambas funciones se anulan). Verifiquemos que el Wronskiano es cero en todas partes.

W(f_1,f_2)(x) = \begin{cases} \begin{vmatrix} x^2 & -x^2 \\ 2x & -2x \end{vmatrix} = 0, & \; x < 0, \\[15pt] \begin{vmatrix} x^2 & x^2 \\ 2x & 2x \end{vmatrix} = 0, & \; x \ge 0 \end{casos}

Sin embargo, estas funciones son obviamente linealmente independientes. Vemos que la igualdad del wronskiano a cero no implica una dependencia lineal en el caso de una elección arbitraria de funciones.

Véase también

Notas

↑ Matemáticas del siglo XVIII // Historia de las matemáticas. - M. : Nauka, 1972. - T. III. - S. 70.

Literatura

Romanko V. K. capítulos 5 y 6 // Curso de ecuaciones diferenciales y cálculo de variaciones. - 2ª ed. - M. : Laboratorio de Conocimientos Básicos, 2002. - S. 158-164, 174-177. - (Universidad Tecnica). - 3000 copias. — ISBN 5-93208-097-3 .