El algoritmo gamma es un algoritmo para aplanar un gráfico y verificar su planaridad a lo largo del camino .
Si se viola la propiedad (1), entonces el gráfico debe apilarse por separado de acuerdo con los componentes conectados. Si se viola la propiedad (2), entonces el gráfico es un árbol y es trivial dibujar su aplanamiento.
El caso de violación de la propiedad (3) se considerará con más detalle. Si hay puentes en el gráfico, entonces deben cortarse, cada componente conectado debe aplanarse por separado y luego conectarse mediante puentes. Aquí puede surgir una dificultad: durante el proceso de colocación, los vértices finales del puente pueden estar dentro de un gráfico plano. Dibujemos un componente conectado y agreguemos otros secuencialmente. Cada nuevo componente conectado se dibujará en la cara que contiene el vértice final del puente correspondiente. Dado que el gráfico de conectividad por puentes de componentes conexas es un árbol, podremos obtener un empaquetamiento plano.
El gráfico à es plano si y solo si el algoritmo gamma lo coloca en el plano.
En la dirección opuesta, la prueba es obvia.
Vamos a demostrarlo directamente. Si el grafo Γ es plano, entonces el subgrafo H dispuesto en el plano puede completarse hasta el trazado del grafo Γ . En particular, para el último paso esto significa que el gráfico Γ está completamente dispuesto en el plano.
Sea la gráfica Γ plana. Entonces, cualquier ciclo del gráfico Γ se representa como un polígono cuando se apila. Este polígono está incluido en la disposición del gráfico Γ en el plano.
Deje que la afirmación sea verdadera hasta la enésima iteración del algoritmo.
Opciones:
Sea S un segmento con caras admisibles F 1 y F 2 . El subgrafo H se completa al trazado del grafo Г por la hipótesis inductiva. En este caso, el segmento S encaja en una de las caras admisibles. Sin pérdida de generalidad, sea esta cara F 1 . Probemos que existe una extensión de H hasta el trazado de la gráfica à en la que el segmento S está en la cara F 2 . Dado que F 1 y F 2 son caras adicionales, ambas contienen todos los vértices de contacto del segmento S . Por lo tanto, todos los vértices de contacto del segmento S se encuentran en el conjunto de vértices comunes F 1 y F 2 . Sean S 1 ,..,S k todos los segmentos contenidos en F 1 . Sean S ' 1 ,..,S ' m todos los segmentos de F 2 que contienen uno de los vértices. Deje que el segmento S ' i tenga un vértice de contacto y otro vértice de contacto que no pertenezca a F 1 . Entonces las caras admisibles S ' i es la cara F 2 , y este es el supuesto del punto (2). De la contradicción se sigue que todos los vértices de contacto S ' i (similarmente a S i ) se encuentran en el conjunto de vértices de los segmentos S ' 1 ,.., S ' m .
Por lo tanto, en la colocación del gráfico G , es posible mover los segmentos S 1 ,..,S k a F 2 , y S ' 1 ,..,S ' m a F 1 , esto conducirá a la colocación del gráfico à en el que el segmento S está en la cara F 2 .
Por lo tanto, el algoritmo ajustará cualquier gráfico plano al plano. Que es lo que se requería.