Haz gaussiano

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Haz gaussiano : un haz de radiación electromagnética , en el que la distribución del campo eléctrico y la radiación en la sección transversal se aproxima bien a la función gaussiana . Un haz de luz coherente con una distribución de campo gaussiana es de fundamental importancia en la teoría de haces de ondas. Este haz se denomina modo fundamental para distinguirlo de otros modos de orden superior.

Descripción matemática

Se busca la solución de la ecuación de onda reducida , que describe la propagación de tal haz en la forma [1] :

{\ estilo de visualización \ Psi = u (x, y, z) e^{ikz))

donde es una función compleja que varía lentamente, que determina las propiedades de un rayo láser que lo distinguen de una onda plana. Aplicando un operador a una función se obtiene: ${\ estilo de visualización u (x, y, z)}$ $\Delta$ $\psi$

\Delta \Psi =\left({\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial y ^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial z^{2}}}+2ik{\frac {\parcial u}{\parcial z}}-k^{2 }u\right)e^{ikz}

Si la expresión desprecia la segunda derivada en comparación con la primera, entonces, sobre la base de la ecuación de onda de Helmholtz dada, se obtiene la siguiente ecuación: $tu$ $z$

{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial y^{2))}+2ik {\frac {\u parcial}{\z parcial}}=0

La ecuación resultante pertenece a las ecuaciones de tipo parabólico, y la aproximación en sí, en el marco del cual se obtuvo, se llama aproximación parabólica. Es fácil demostrar que la ecuación será satisfecha por un haz de Gauss cuya amplitud varía a lo largo de la coordenada transversal de acuerdo con la ley de Gauss.

Para una viga gaussiana, podemos escribir la expresión:

u=a\exp {\left[i\left(p+{\frac {k}{2q}}r^{2}\right)\right]}

donde r 2 \u003d x 2 + y 2 . El parámetro p es el cambio de fase complejo a medida que la luz se propaga a lo largo del eje z, y q es el parámetro de haz complejo que determina la distribución gaussiana del campo a lo largo de la coordenada r, donde r es la distancia desde el eje. Además, q determina la curvatura del frente de onda, que es esférico cerca del eje.

Consideremos las propiedades de un haz gaussiano con longitud de onda λ con más detalle. Para ello, expresamos el parámetro complejo q en términos de dos parámetros reales de la gavilla R y w

\frac{1}{q} = \frac{1}{R} + i\frac{\lambda}{\pi w^2},

donde R es el radio de curvatura del frente de onda y w caracteriza el cambio en el campo E en el plano transversal (el parámetro w generalmente se denomina ancho del haz). La distribución del campo en este plano obedece a la ley de Gauss, y w es igual a la distancia a la que la amplitud del campo disminuye por un factor de e con respecto al campo en el eje.

Derivación a través del principio de Huygens-Fresnel

Para obtener una forma explícita de la amplitud, se puede utilizar el principio de Huygens-Fresnel, tomando la señal gaussiana como frente de onda inicial en la superficie: $(x, y)$

a ( X , y ) = mi 0 Exp ⁡ ( − X 2 + y 2 w 0 2 ) {\displaystyle a(x,y)=E_{0}\exp {\left(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w_{0}^{2}}}\right )}} $a(x,y)=E_{0}\exp {\left(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w_{0}^{2}}}\right )}$ donde es el radio mínimo. Inmediatamente notamos la conexión con la potencia total: , de donde $w_{0}$ $E_{{0}}$ $\int_{-\infty}^{+\infty}dx\int_{-\infty}^{+\infty}dy\times |a(x,y)|^{2}=P_{ 0}$ $E_{0}={\sqrt {\frac {2P_{0}}{\pi w_{0}^{2}}}}.$

Integral de Fresnel

A ( t , X , y , z ) = ∫ d X ′ d y ′ a ( X ′ , y ′ ) r porque ⁡ ( ω t − k r ) {\displaystyle A(t,x,y,z)=\int dx^{'}dy^{'}{\frac {a(x^{'},y^{'})}{r}}\ porque {(\ omega t-kr)}}

A(t,x,y,z)=\int dx^{'}dy^{'}{\frac {a(x^{'},y^{'})}{r}}\ porque {(\ omega t-kr)}

da el valor del frente de onda en el tiempo t en un punto del espacio .

(x, y, z)

Si tenemos en cuenta que en el argumento del coseno se permite una simplificación para el caso de z grande: , y además que , luego de realizar la integración, podemos obtener: $r={\sqrt {(xx^{'})^{2}+(yy^{'})^{2}+z^{2))}\approx z+{\frac {(xx^ {'})^{2}+(aa^{'})^{2}}{2z}}$ ${\frac {1}{r}}\approx {\frac {1}{z}}$

A ( t , X , y , z ) = 2 π k mi 0 w 0 w ( z ) Exp ⁡ ( − X 2 + y 2 w ( z ) 2 ) porque ⁡ ( ω t − k ( z + X 2 + y 2 2 R ) − α ) . {\displaystyle A(t,x,y,z)={\frac {2\pi }{k}}{\frac {E_{0}w_{0}}{w(z)))\exp {\ izquierda(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w(z)^{2}}}\right)}\cos {\left(\omega tk\left(z+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2R}}\right)-\alpha \right)}.} $A(t,x,y,z)={\frac {2\pi }{k}}{\frac {E_{0}w_{0}}{w(z)))\exp {\ izquierda(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w(z)^{2}}}\right)}\cos {\left(\omega tk\left(z+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2R}}\right)-\alpha \right)}.$ donde , , , un . $\tan(\alpha )={\frac {kw_{0}^{2}}{2z}}$ $R=z+{\frac {\left(kw_{0}^{2}\right)^{2}}{4z}}$ ${\displaystyle w(z)=w_{0}{\sqrt {1+\left({\frac {2z}{kw_{0}^{2))}\right)^{2))))$ $k={\frac {2\pi }{\lambda ))$

Para la intensidad, después de restaurar la normalización, tenemos:

yo ( X , y ) = 2 PAGS 0 π w ( z ) 2 Exp ⁡ ( − 2 X 2 + y 2 w ( z ) 2 ) . {\displaystyle I(x,y)={\frac {2P_{0}}{\pi w(z)^{2}}}\exp {\left(-2{\frac {x^{2}+ y^{2}}{w(z)^{2}}}\derecha)}.} $I(x,y)={\frac {2P_{0}}{\pi w(z)^{2}}}\exp {\left(-2{\frac {x^{2}+ y^{2}}{w(z)^{2}}}\derecha)}.$

El razonamiento anterior se describe con más detalle en la fuente [2] .

Propiedades de la viga

Ancho de haz

En cierto plano, llamado cuello de la superficie cáustica o cintura, el haz gaussiano se contrae al ancho mínimo w 0 . En este plano, desde el cual conviene medir la distancia z, el frente de fase es plano y el parámetro complejo del haz se vuelve puramente imaginario:

q_0 = \frac{\pi w_0^2}{i \lambda} , z_R = iq_0 ,

donde z R es la longitud de Rayleigh. Entonces, el ancho del haz a una distancia z viene dado por la siguiente fórmula:

w(z) = w_0 \sqrt{1 + \left(\frac{\lambda z}{\pi w_0^2}\right)^2}

Radio de curvatura

La dependencia del radio de curvatura en la coordenada:

R(z) = z\left(1+\left(\frac{\pi w_0^2}{\lambda z}\right)^2\right)

Divergencia del haz

La generatriz del lápiz w(z) es una hipérbola cuya asíntota está inclinada respecto al eje en un ángulo

\theta = \frac{\lambda}{\pi w_0}

Este ángulo es igual al ángulo de difracción del modo fundamental en la zona lejana.

La divergencia angular total del haz será

\theta = 2\theta

Modos de orden superior

Los haces gaussianos son solo una de las posibles soluciones a la ecuación de onda paraxial. Se utilizan combinaciones de varias soluciones ortogonales para simular rayos láser. En el caso general, si se define una base completa de soluciones, cualquier haz puede describirse como una superposición de soluciones a partir de la base.

Notas

↑ P. V. Korolenko, Óptica de radiación coherente (enlace inaccesible) , libro de texto.
↑ Conferencia ocho. VIGAS GAUSSIANA . scask.ru . Recuperado: 9 de mayo de 2022. (indefinido)