Curvatura geodésica

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La curvatura geodésica de una curva en la geometría de Riemann mide cuánto se desvía una curva de una geodésica . Por ejemplo, para una curva 1D en una superficie 2D anidada en un espacio 3D , es la curvatura de la curva proyectada en un plano tangente a la superficie. De manera más general, en una variedad dada, la curvatura geodésica es la curvatura habitual de una curva (ver más abajo). Sin embargo, si la curva se encuentra en una subvariedad de la variedad (por ejemplo, para la curvatura de superficie ), la curvatura geodésica se refiere a la curvatura en y difiere en forma general de la curvatura en la variedad ambiental . La curvatura (ambiental) de una curva depende de dos factores: la curvatura de la subvariedad en la dirección ( curvatura normal ), que depende solo de la dirección de la curva, y la curvatura en la variedad (curvatura geodésica ), que es una cantidad de segundo orden. La conexión entre ellos es . En particular, las geodésicas en tienen curvatura geodésica cero ("líneas rectas"), por lo que . $kg}$ $\gama$ ${\ estilo de visualización {\ bar {M}}}$ $\gama$ $\gama$ $METRO$ ${\ estilo de visualización {\ bar {M}}}$ $\gama$ $METRO$ $\gama$ ${\ estilo de visualización {\ bar {M}}}$ $k$ $\gama$ $METRO$ $\gama$ $k_n$ $\gama$ $METRO$ $kg}$ ${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2))))$ $METRO$ ${\ Displaystyle k = k_ {n}}$

Definición

Considere una curva en una variedad parametrizada por la longitud de la curva con un vector unitario tangente . Su curvatura es igual a la norma de la derivada covariante del vector : . Si está en , la curvatura geodésica es igual a la norma de la proyección de la derivada covariante sobre el espacio tangente de la subvariedad. Por el contrario, la curvatura normal es igual a la norma de la proyección sobre el haz normal de la subvariedad en el punto considerado. $\gama$ ${\ estilo de visualización {\ bar {M}}}$ $T=d\gamma /ds$ $T$ $k=\|DT/ds\|$ $\gama$ $METRO$ $DT/ds$ $DT/ds$

Si la variedad ambiental es un espacio euclidiano , entonces la derivada covariante es igual a la derivada ordinaria . $\mathbb{R} ^{n}$ $DT/ds$ $dT/ds$

Ejemplo

Sea una esfera unitaria en el espacio euclidiano tridimensional . La curvatura normal de una esfera es 1, independientemente de la dirección considerada. Los grandes círculos tienen curvatura , por lo que tienen una curvatura geodésica cero y, por lo tanto, son geodésicos. Los círculos más pequeños de radio tendrán curvatura y curvatura geodésica . $METRO$ $S^{2}$ $S^{2}$ $k=1$ $r$ ${\ estilo de visualización 1/r}$ $k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}$

Algunos resultados usando curvatura geodésica

La curvatura geodésica no es más que la curvatura ordinaria calculada en la subvariedad . No depende de cómo se coloque la subvariedad en . $METRO$ $METRO$ ${\ estilo de visualización {\ bar {M}}}$
La geodésica on tiene curvatura geodésica cero, lo que equivale a decir que es ortogonal al espacio tangente a . $METRO$ $DT/ds$ $METRO$
Por otro lado, la curvatura normal depende estrictamente de cómo se ubique la subvariedad en el espacio ambiental, pero poco de la curva; depende solo del punto sobre la variedad y la dirección , pero no de . $k_n$ $T$ $DT/ds$
En la geometría general de Riemann, la derivada se calcula utilizando la conexión Levi-Civita de la variedad ambiental: . Se divide en una parte tangente y una parte normal para una subvariedad, . La parte tangente es la derivada habitual de v ( este es un caso especial de la ecuación de Gauss para la ecuación de Peterson-Codazzi ), mientras que la parte normal es , donde es la segunda forma cuadrática de . ${\bar {\nabla))$ $DT/ds={\bar {\nabla}}_{T}T$ ${\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp}$ ${\ estilo de visualización \ nabla _ {T} T}$ $METRO$ $\mathrm {yo\!yo} (T,T)$ $\mathrm{yo\!yo}$
Fórmula de Gauss-Bonnet .

Véase también

Literatura

Manfredo P. do Carmo. Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. - Prentice-Hall, 1976. - ISBN 0-13-212589-7 .
Enrique Guggenheimer. Superficies // Geometría Diferencial. - Dover, 1977. - ISBN 0-486-63433-7 .
Yu.S. Slobodyan. Curvatura geodésica // Enciclopedia de Matemáticas. — Prensa EMS, 2001.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Curvatura geodésica (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .