La hipótesis de mahler

La hipótesis de Mahler es una hipótesis de la teoría métrica de clasificación de números sobre la magnitud de la "medida de trascendencia" de casi todos los números. Fue formulado por K. Mahler en 1932 [1] Probado por V. G. Sprindzhuk en 1965 [2] [3]

Redacción

Considere aproximaciones de cero por valores de polinomios enteros para valores de argumento que son números reales o complejos y para números fijos . Llamemos valor a la altura del polinomio y supongamos que aumenta. Denotemos . Aquí, el mínimo se toma sobre todos los polinomios enteros de grado como máximo , altura como máximo y con la condición . Denotemos . Sea un número trascendental. Introduzcamos la notación: — para números reales, — para números complejos, , donde , , donde . ${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n))$ $\omega$ $n=1,\;2,\;\ldots$ $h(P)=\max(|a_{0}|,\;|a_{1}|,\;\ldots,\;|a_{n}|)$ $w_{n}(\omega ,H)=\min |P(\omega )|$ $PAGS$ $norte$ $H$ $P(\omega )\neq 0$ $w_{n}(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty ))}{\dfrac {\ln {\dfrac {1}{w_{n}(\omega ,H )))}{\n H))$ $w(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\omega$ $\Theta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\eta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\Theta (\omega)=\sup_{(n)}\Theta_{n}(\omega)$ $n=1,\;2,\;\ldots$ ${\ estilo de visualización \ eta (\ omega) = \ sup _ {(n)} \ eta _ {n} (\ omega)}$ $n=2,\;3,\;\ldots$

La conjetura de Mahler establece que , [4] . ${\ estilo de visualización \ Theta (\ omega) = 1}$ $\eta (\omega)={\frac {1}{2))$

Prueba

La prueba está en el artículo [3] .

Notas

↑ Mahler K. Zur Aproximación der Exponentialfunction und des Logarithmus // I, II J. reine und angew. Matemáticas. - 1932. - v. 166. - S. 118-136, 137-150.
↑ Sprindzhuk V. G. Prueba de la conjetura de K. Mahler sobre la medida del conjunto de números S complejos // Uspekhi Mat . Nauk . - 1964. - T. 19, N° 2. - S. 191-194.
↑ 1 2 Sprindzhuk V. G. Prueba de la conjetura de Mahler sobre la medida del conjunto de números S // Izv. Academia de Ciencias de la URSS, ser. estera. - 1965. - V. 29, No. 2. - S. 379-436. - URL: http://mi.mathnet.ru/izv2913
↑ Sprindzhuk, 1967 , pág. once.

Literatura

El problema de Sprindzhuk VG Mahler en la teoría de los números métricos. - Minsk: Ciencia y tecnología, 1967. - 184 p.