Problema gravitacional de N-cuerpos

El problema gravitacional de N -cuerpos es un problema clásico de la mecánica celeste y la dinámica gravitacional de Newton .

Está formulado de la siguiente manera.

Hay N puntos materiales en el vacío , cuyas masas se conocen { m i }. Sea la interacción de pares de puntos sujeta a la ley de gravitación de Newton , y sean aditivas las fuerzas gravitatorias . Sean las posiciones iniciales y las velocidades de cada punto r i | t = 0 = r yo0 , v yo | t = 0 = v yo0 . Se requiere encontrar las posiciones de los puntos para todos los momentos de tiempo subsiguientes.

Formulación matemática del problema gravitatorio de N -cuerpos

La evolución de un sistema de N cuerpos gravitatorios ( puntos materiales ) se describe mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

{\frac {d{{\mathbf r}}_{i}}{dt}}={{\mathbf v}}_{i},

{\frac {d{{\mathbf v}}_{i}}{dt}}=\sum \limits _{{j\neq i}}^{N}G\,m_{j}\,{\ fracción {{{\mathbf r}}_{j}-{{\mathbf r}}_{i}}{\left|({\mathbf r}}_{j}-{{\mathbf r}}_ {i}\derecho|^{{3}}}},

donde es la masa, el radio vector y la velocidad del i - ésimo cuerpo, respectivamente ( i varía de 1 a N ), G es la constante gravitatoria . Las masas de los cuerpos, así como las posiciones y velocidades en el momento inicial del tiempo se consideran conocidas. Es necesario encontrar las posiciones y velocidades de todas las partículas en un momento arbitrario en el tiempo. $m_{i},\,{{\mathbf r}}_{i},\,{{\mathbf v}}_{i}$

Solución analítica

El caso de un punto solitario no es objeto de consideración de la dinámica gravitatoria. El comportamiento de tal punto está descrito por la primera ley de Newton . La interacción gravitacional es al menos un acto de pareja. $N=1$

La solución al problema de los dos cuerpos es la órbita sistémica baricéntrica (que no debe confundirse con la órbita central del campo de Kepler). De acuerdo con la formulación original del problema, la solución del problema de los dos cuerpos es completamente insensible a la numeración de los puntos y la proporción de sus masas. La órbita central del campo de Kepler surge al pasar al límite . En este caso, se pierde la igualdad de puntos: se supone que es un centro de gravedad absolutamente inmóvil, y el primer punto “pierde” masa, el parámetro desaparece de las ecuaciones dinámicas. En un sentido matemático, el sistema resultante es degenerativo, ya que el número de ecuaciones y parámetros se reduce a la mitad. Por lo tanto, la asintótica inversa se vuelve imposible: la ley de gravitación de Newton no se sigue de las leyes de Kepler. (Tenga en cuenta que las masas no se mencionan en absoluto en las leyes de Kepler). $N=2$ ${\frac {m_{1}}{m_{2}}}\flecha derecha 0$ $m_2$ $m_1$

Para el problema de los tres cuerpos en 1912, Karl Zundman obtuvo una solución analítica general en forma de serie. Aunque estas series convergen para cualquier momento de tiempo y con cualquier condición inicial, convergen extremadamente lentamente [1] . Debido a la convergencia extremadamente lenta, el uso práctico de la serie de Sundman es imposible [2] .

Además, para el problema de los tres cuerpos, Heinrich Bruns y Henri Poincaré demostraron que su solución general no puede expresarse en términos de funciones algebraicas o trascendentales de un solo valor de coordenadas y velocidades [2] . Además, solo se conocen 5 soluciones exactas del problema de los tres cuerpos para velocidades iniciales especiales y coordenadas de objetos.

Por el momento, en general, el problema de los cuerpos para puede resolverse solo numéricamente, y para la serie de Sundman, incluso con modernos $norte$ $n>3$ $N=3$ [ ¿cuándo? ] el nivel de desarrollo de la tecnología informática es casi imposible de usar.

Métodos numéricos

Con el advenimiento de la tecnología informática , ha aparecido una oportunidad real para estudiar las propiedades de los sistemas de cuerpos gravitatorios mediante la resolución numérica de un sistema de ecuaciones de movimiento. Para ello, por ejemplo, se utiliza el método de Runge-Kutta (de cuarto orden o superior).

Los métodos numéricos se enfrentan a los mismos problemas que los métodos analíticos: cuando los cuerpos están muy juntos, es necesario reducir el paso de integración y, en este caso, los errores numéricos aumentan rápidamente. Además, con la integración "directa", el número de cálculos de fuerza para cada paso aumenta con el número de cuerpos aproximadamente como , lo que hace que sea casi imposible modelar sistemas que consisten en decenas y cientos de miles de cuerpos. $N^2$

Para resolver este problema, se utilizan los siguientes algoritmos (o combinaciones de los mismos):

El esquema de Ahmad-Cohen : propone dividir la fuerza que actúa sobre cada cuerpo en 2 partes: irregular (de cuerpos cercanos - "vecinos") y regular (de cuerpos más distantes). En consecuencia, la fuerza regular se puede recalcular con un paso mucho mayor que el irregular.
"Algoritmo Treecode" (Treecode), implementado por primera vez por Joshua Barnes [3] .

Integrales de movimiento

A pesar de la aparente simplicidad de las fórmulas, no existe una solución en forma de expresiones analíticas finitas para este problema en forma general para . Como lo muestra Heinrich Bruns , el problema de muchos cuerpos tiene solo 10 integrales algebraicas de movimiento independientes , que se encontraron en el siglo XVIII y que no son suficientes para integrar el problema de tres o más cuerpos [4] [5] . Painlevé y Poincaré ofrecieron sus propias generalizaciones de este teorema . Painlevé logró abandonar el requisito de que la dependencia de las coordenadas sea algebraica, mientras que Poincaré conjeturó que no hay una nueva integral de valor único (todas las integrales clásicas, excepto la integral de energía, son funciones de valor único). Esta última afirmación, al parecer, aún no ha sido rigurosamente demostrada en una formulación tan general. ${\ estilo de visualización N \ geq 3}$

En 1971, V. M. Alekseev comentó el pasaje correspondiente en Celestial Mechanics [6] de Poincaré :

La inexistencia de una integral analítica de un solo valor en el problema de los tres cuerpos aún no se ha probado con todo rigor... La primera prueba precisa de la no integrabilidad de un sistema hamiltoniano bastante general pertenece a Siegel [7] . Es interesante notar que las integrales no analíticas son posibles en los problemas bajo consideración; su existencia se deriva de un teorema de Kolmogorov [8] [9] . Por el contrario, en el caso de que el número de variables sea superior a dos, lo más probable es que incluso una integral continua sea imposible [10] .

Véase también

Notas

↑ K. L. Siegel. Conferencias sobre mecánica celeste. Copia de archivo fechada el 2 de febrero de 2021 en Wayback Machine - M .: IL, 1959.
↑ 12 AP Markeev. El problema de los tres cuerpos y sus soluciones exactas // Soros Educational Journal . - 1999. - Nº 9 . ( Copia del artículo de Internet Archive )
↑ Treecode - Distribución de software . Consultado el 14 de septiembre de 2008. Archivado desde el original el 2 de febrero de 2021. (indefinido)
↑ Bruns H. Ueber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. bd. 11 (1887), pág. 25-96.
↑ Whitaker. Dinámica analítica.
↑ V. V. Kozlov. Simetrías, topología y resonancias en mecánica hamiltoniana. - Izhevsk, 1995.
↑ Matemáticas. - 1961. - No. 5, número. 2.- S. 129-155.
↑ Kolmogorov A. N. // DAN, 1954, 48, No. 4, 527-530
↑ Arnold V. I. // UMN, 1963, 18, No. 5-6
↑ Arnold V. I. // DAN, 1964, 154, No. 1, 9-12.

Literatura

James Binney, Scott Tremaine. Dinámica galáctica, 1988, ISBN 0-69-108445-9 .

Enlaces

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En catálogos bibliográficos	NDL : 00572721

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