Conde Erdős - Diofanto

Un gráfico de Erdős-Diophantus es un conjunto de puntos en un plano con coordenadas enteras, cuyas distancias son números enteros y que no se puede extender agregando otros puntos. De manera equivalente, este conjunto se puede describir como un gráfico completo con vértices en una red de enteros , de modo que las distancias por pares entre los vértices son números enteros, mientras que todos los demás puntos de la red tienen una distancia no entera a al menos un vértice.

Los Condes de Erdős-Diophantus llevan el nombre de Pal Erdős y Diofanto de Alejandría . Los gráficos forman un subconjunto del conjunto de figuras diofánticas , que se definen como gráficos completos en el plano diofántico en el que todas las aristas tienen longitudes enteras. Entonces, los gráficos de Erdős-Diophantine son exactamente figuras Diophantine que no se pueden extender. La existencia de grafos de Erdős-Diofantina se deriva del teorema de Erdős-Anning , según el cual infinitas figuras Diofánticas deben ser colineales en el plano Diofántico. Por lo tanto, cualquier proceso de expansión de una figura diofántica no colineal mediante la adición de vértices debe llegar a una etapa en la que la figura no se puede extender.

Ejemplos

Cualquier conjunto de cero puntos o un punto puede extenderse trivialmente, y cualquier conjunto diofántico de dos puntos puede extenderse por puntos en la misma línea. Por lo tanto, todos los conjuntos diofánticos con menos de tres puntos se pueden extender y, por lo tanto, los gráficos de Erdős-Diofantino con menos de tres vértices no existen.

Mediante búsqueda numérica, Koner y Kurtz [1] demostraron que existen grafos de Erdős-Diophantus con tres vértices. El triángulo Erdős-Diophantus más pequeño tiene longitudes de lado de 2066, 1803 y 505. El siguiente triángulo más grande de Erdős-Diophantus tiene lados 2549, 2307 y 1492. En ambos casos, la suma de los tres lados es un número par. Brancheva demostró que esta propiedad se cumple para todos los triángulos de Erdős-Diophantus, la longitud total de cualquier camino cerrado en el gráfico de Erdős-Diophantus es siempre par.

Un ejemplo de grafo Erdős-Diofantino de cuatro vértices es el grafo completo formado por los vértices de un rectángulo de lados 4 y 3.

Notas

  1. ↑ Kohnert, Kurz, 2007 .

Literatura