Grupo de nodos

Un grupo de nudos  es una característica de un nudo, definida como el grupo fundamental de su complemento.

Definición

Que haya un nodo. Entonces el grupo nudo nudo se define como el grupo fundamental . [1] .

Comentario

Otras convenciones tratan el nudo como una incrustación de un círculo en un 3-esfera . En este caso, el grupo de nudos se define como el grupo fundamental de su complemento en . Ambas definiciones dan grupos isomorfos.

Propiedades

• Dos nudos equivalentes tienen grupos de nudos isomorfos , por lo que el grupo de nudos es un nudo invariante y se puede utilizar para establecer que un par de nudos no es equivalente. Sin embargo, dos nudos no equivalentes pueden tener grupos de nudos isomórficos (ver el ejemplo a continuación).

• La abelización de un grupo de nudos siempre es isomorfa a un grupo cíclico infinito . Esto se deriva del hecho de que la abelización coincide con el primer grupo de homología , que es fácil de calcular.

• El grupo de nudos (así como el grupo fundamental de enlaces orientados en general) se puede calcular con algoritmos comparativamente simples utilizando la representación de Wirtinger .

Ejemplos

• El grupo de nudos triviales es isomorfo .
  • Lo contrario también es cierto.
• El grupo del trébol es isomorfo al grupo de la trenza , este grupo tiene una tarea : o .
• El grupo - nudo toroide tiene la tarea: .
• El grupo de ocho tiene la tarea: .
• El nudo recto y el nudo de mujer tienen grupos de nudos isomorfos, pero estos nudos no son equivalentes.

Véase también

• Grupo de engranajes

Notas

1. ↑ Boltyansky, 1982 , p. 119.

Literatura

• Nudos y enlaces de un grupo - artículo de Encyclopedia of Mathematics
• Boltyansky V. G. , Efremovich V. A. Topología visual. — M .: Nauka, 1982. — 160 p.