Curva bicorne

Una curva de dos esquinas , también conocida como sombrero de tres picos debido a su similitud con una curva de dos esquinas , es una curva racional de cuarto grado , dada por la ecuación

y^{2}(a^{2}-x^{2})=(x^{2}+2ay-a^{2})^{2}.

La curva tiene dos vértices y es simétrica con respecto al eje y.

Historia

En 1864 James Joseph Sylvester estudió la curva

y^{4}-xy^{3}-8xy^{2}+36x^{2}y+16x^{2}-27x^{3}=0

en relación con la clasificación de ecuaciones de quinto grado . Llamó a la curva de dos cuernos debido a la presencia de dos cúspides. Esta curva fue estudiada posteriormente por Arthur Cayley en 1867.

Propiedades

Una curva bicorne es una curva algebraica plana de cuarto grado de género cero . La curva tiene dos singularidades de cúspide en el plano real y un punto doble en el plano proyectivo complejo en x=0, z=0. Si movemos x=0 y z=0 al origen y realizamos una rotación imaginaria en x sustituyendo ix/z por x y 1/z por y, obtenemos

{\ estilo de visualización (x^{2}-2az+a^{2}z^{2})^{2}=x^{2}+a^{2}z^{2}.\,}

Esta curva, el caracol de Pascal , tiene el habitual doble punto en el origen y dos puntos de intersección con los ejes en x = ± i y z=1.

Ecuación paramétrica de una curva bicorne:

$x=a\sin(\theta )$ y con $y=a{\frac {\cos ^{2}(\theta )\left(2+\cos(\theta )\right)}{3+\sin ^{2}(\theta )))$ ${\ estilo de visualización - \ pi \ leq \ theta \ leq \ pi}$

Véase también

Lista de curvas

Notas

Literatura

J.Dennis Lawrence. Un catálogo de curvas planas especiales. - Publicaciones de Dover, 1972. - ISBN 0-486-60288-5 .
"Bicornio" en el archivo MacTutor History of Mathematics
Weisstein, Eric W. Bicorn (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
"Bicorne" en "mathcurve"
Los artículos matemáticos recopilados de James Joseph Sylvester. vol. II Cambridge (1908) pág. 468 _ _