La identidad diferencial de Bianchi

El tensor de Riemann satisface la siguiente identidad:

(1)\qquad \nabla_{i}R_{\;rjk}^{s}+\nabla_{j}R_{\;rki}^{s}+\nabla_{k}R_{ \;rij}^{s}=0,

que se llama identidad diferencial de Bianchi (o segunda identidad de Bianchi ) en geometría diferencial .

Demostración utilizando un sistema de coordenadas especial

Elegimos algún punto arbitrario en la variedad y demostramos la igualdad (1) en este punto. Dado que el punto es arbitrario, la validez de la identidad (1) en toda la variedad se seguirá de aquí. $PAGS$ $PAGS$

En un punto , podemos elegir un sistema de coordenadas especial tal que todos los símbolos de Christoffel (pero no sus derivados) desaparezcan en ese punto. Entonces para derivadas covariantes en un punto tenemos $PAGS$ $PAGS$

(2)\qquad \nabla_{i}R_{\;rjk}^{s}=\parcial_{i}R_{\;rjk}^{s}.

Porque el

(3)\qquad R_{\;rjk}^{s}=\parcial_{j}\Gamma_{kr}^{s}-\parcial_{k}\Gamma_{jr}^{ s}+\Gamma_{jp}^{s}\Gamma_{kr}^{p}-\Gamma_{kp}^{s}\Gamma_{jr}^{p},

entonces en el punto que tenemos $PAGS$

(4)\qquad \nabla_{i}R_{\;rjk}^{s}=\parcial_{i}\parcial_{j}\Gamma_{kr}^{s}-\parcial _ {i}\parcial_{k}\Gamma_{jr}^{s}.

Reordenando cíclicamente los índices en (4) , obtenemos dos igualdades más: $jk$

(5)\qquad \nabla_{j}R_{\;rki}^{s}=\parcial_{j}\parcial_{k}\Gamma_{ir}^{s}-\parcial _ {j}\parcial_{i}\Gamma_{kr}^{s},

(6)\qquad \nabla_{k}R_{\;rij}^{s}=\parcial_{k}\parcial_{i}\Gamma_{jr}^{s}-\parcial _ {k} \ parcial _ {j} \ Gamma _ {ir}^ {s}.

Es fácil ver que al sumar las igualdades (4), (5) y (6) en el lado izquierdo de la ecuación se obtendrá el lado izquierdo de la expresión (1), y en el lado derecho, teniendo en cuenta la conmutatividad de derivadas parciales , todos los términos se cancelan entre sí, y obtenemos cero.

Véase también

Identidad algebraica de Bianchi