Diferenciación de funciones complejas

La regla de la cadena ( regla de diferenciación de una función compleja ) permite calcular la derivada de la composición de dos o más funciones a partir de derivadas individuales. Si una función tiene una derivada en , y una función tiene una derivada en , entonces la función compleja también tiene una derivada en . $F$ $x_{0}$ $gramo$ $y_{0}=f(x_{0})$ ${\ estilo de visualización h (x) = g (f (x))}$ $x_{0}$

Caso unidimensional

Sean funciones definidas en vecindades sobre la recta real, donde y Sean también estas funciones diferenciables: Entonces su composición también es derivable: y su derivada tiene la forma: $f:U(x_{0})\to V(y_{0}),$ $y_{0}=f(x_{0}),$ $g:V(y_{0})\to \mathbb {R}$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$ $h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),$

h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr)}\cdot f'(x_{0}).

Nota

En la notación de Leibniz, la regla de la cadena para calcular la derivada de la función donde toma la siguiente forma: ${\ estilo de visualización y = y (x),}$ ${\ estilo de visualización x = x (t),}$

{\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.

Invariancia de la forma de la primera diferencial

La diferencial de una función en un punto tiene la forma: ${\ estilo de visualización z = g (y)}$ $y_0$

dz=g'(y_{0})\,dy,

donde está el diferencial del mapeo idéntico : $dy$ $y\to y_{0}$

dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .

Sea ahora Entonces , y de acuerdo con la regla de la cadena: $y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D))(x_{0}).$ $dy=f'(x_{0})\,dx$

dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.

Por tanto, la forma de la primera diferencial sigue siendo la misma independientemente de si la variable es una función o no.

Ejemplo

Sea Entonces la función se puede escribir como una composición donde $h(x)={(3x^{2}-5x)}^{7}.\;$ ${\ estilo de visualización h \;}$ $h=g\circ f,$

f(x)=3x^{2}-5x,\;

g(y)=y^{7}.\;

Diferenciando estas funciones por separado:

f'(x)=6x-5,\;

g'(y)=7y^{6},\;

obtenemos

h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).

Caso multidimensional

Sean dadas las funciones donde y Sean también estas funciones diferenciables: y Entonces su composición también es diferenciable, y su diferencial tiene la forma $f:U(x_{0})\subconjunto \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subconjunto \mathbb {R} ^{n},$ $y_{0}=f(x_{0}),$ $g:V(y_{0})\subconjunto \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}.$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$

dh(x_{0})=dg(y_{0})\circ df(x_{0})

En particular, la matriz de Jacobi de una función es el producto de las matrices de Jacobi de las funciones y $h$ $gramo$ ${\ estilo de visualización f:}$

{\frac {\parcial (h_{1},\ldots,h_{p})}{\parcial (x_{1},\ldots,x_{m)))))={\frac {\ parcial (h_{1},\ldots,h_{p})}{\parcial (y_{1},\ldots,y_{n)))))\cdot {\frac {\parcial (y_{1}, \ldots ,y_{n})}{\parcial (x_{1},\ldots ,x_{m))))).

Consecuencias

El jacobiano de la composición de dos funciones es el producto de los jacobianos de las funciones individuales: $\left\vert {\frac {\parcial (h_{1},\ldots,h_{n})}{\parcial (x_{1},\ldots,x_{n)))))\right \ vert =\left\vert {\frac {\parcial (h_{1},\ldots,h_{n})}{\parcial (y_{1},\ldots,y_{n)))))\right \vert \cdot \left\vert {\frac {\parcial (y_{1},\ldots, y_{n})}{\parcial (x_{1},\ldots,x_{n)))))\ derecha\vert.$

Para derivadas parciales de una función compleja,

${\frac {\parcial h(x_{0})}{\parcial x_{j))}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\parcial g(y_ {0})}{\parcial y_{i))}{\frac {\parcial f(x_{0})}{\parcial x_{j))},\quad j=1,\ldots m.$

Ejemplo

Sea dada una función de tres variables y se requiere encontrar su derivada parcial con respecto a la variable . La función se puede escribir como donde $h(x,y,z)=\sen x+\cos ^{2}(x+y+z)-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3))}\;$ $X$ ${\ estilo de visualización h \;}$ ${\ estilo de visualización h (x, y, z) = f (u, v, w),}$