Problema de Neumann

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El problema de Neumann , el segundo problema de valores en la frontera - en ecuaciones diferenciales, un problema de valores en la frontera con condiciones de frontera dadas para la derivada de la función deseada en la frontera de la región - las llamadas condiciones de frontera de la segunda clase. Según el tipo de área, el problema de Neumann se puede dividir en dos tipos: interno y externo . Nombrado en honor a Carl Neumann .

Planteamiento del problema

El problema interno de Neumann se plantea de la siguiente manera: encontrar una función en el dominio que satisfaga las siguientes condiciones: $\Omega$ $u\en C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$

\Delta u = 0

en el área de

\Omega

\frac{\parcial u}{\parcial \mathbf{n}}\Bigg|_{\parcial \Omega}=u_1(\mathbf{x}),\ u_1\in C(\parcial \Omega),

donde es el operador de Laplace , es la unidad exterior normal a la frontera del dominio . $\Delta$ $\matemáticas {n}$ $\Omega$

En dominios no acotados ( problema externo de Neumann ), se agrega una condición adicional para la acotación en el infinito de la función deseada en la formulación del problema . La solución del problema de Neumann exterior en un espacio de dimensiones es única si la función está en el infinito . En el caso bidimensional, la solución se puede encontrar hasta una constante si se cumple la condición (*). $\Omega$ $tu$ $n>2$ $tu \rightarrow 0$

En el caso general, el segundo problema de valores en la frontera es el problema de resolver alguna ecuación diferencial parcial con un comportamiento dado de la derivada en la frontera.

Condición de solvencia

Se sabe por la teoría del potencial que una condición necesaria para la solución del problema interno de Neumann es el cumplimiento de la igualdad

$\int \limits _{\;\parcial \Omega }u_{1}(\mathbf {x} )dS=0,\qquad \qquad (*)$

en este caso, la solución del problema interno de Neumann solo se puede encontrar hasta una constante. [una]

Interpretación física

Para ecuaciones de varios procesos, los segundos problemas de valores en la frontera, a diferencia de los primeros , se dan e interpretan de diferentes maneras, por ejemplo:

Para la ecuación de conducción de calor se dan en la forma , que se interpreta como un flujo de calor en el límite de la región. $\Grande -\lambda \frac{\parcial u}{\parcial \mathbf{n)) \Bigr|_{\parcial \Omega_2} = u_1(\mathbf{x})$
Para las ecuaciones derivadas de las ecuaciones de Maxwell, por ejemplo, la ecuación de un vector se interpreta como un campo magnético en el límite. Estas condiciones se denominan condiciones de frontera magnéticas . Para un vector se interpreta como un campo eléctrico en la frontera y se denominan condiciones eléctricas de frontera . En el caso de una ecuación escalar, se dan como: , en el caso de un vector: [2] . $\mathbf {E}$ $\mathbf {H}$ $\Grande -\mu^{-1} \frac{\parcial E}{\parcial \mathbf{n)) \Bigr|_{\parcial \Omega_2} = u_1(\mathbf{x})$ $\Grande \left ( \mu^{-1} \nabla \times \mathbf{E} \right ) \times \mathbf{n} \Bigr|_{\parcial \Omega_2} = \mathbf{u_1}(\mathbf{x })$

Solución analítica

Una solución analítica para el problema de Neumann se puede expresar utilizando la función de Green :

{\displaystyle u(\mathbf {y} )=\int_{\parcial \Omega }{u_{1}(\mathbf {x} )G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )dx))

donde es la función de Green para el operador de Laplace en el dominio . $G(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\Omega$

Segundas condiciones de contorno en métodos numéricos

Al resolver el problema por varios métodos numéricos, las segundas condiciones de contorno se tienen en cuenta de diferentes maneras:

En el método de diferencias finitas , la derivada se aproxima mediante un esquema de diferencia especial, en la misma cuadrícula, y la ecuación resultante se suma al sistema general. $\frac{\u parcial}{\mathbf{n)) parcial$
En el método de elementos finitos, los segundos valores límite se tienen en cuenta en la formulación variacional y son adiciones al lado derecho de la ecuación : $\mathbf{b}_i = \int_{\Omega}{f(\mathbf{x})\varphi_i(\mathbf{x})dx} + \int_{\parcial \Omega_2}{u_1(\mathbf{x} )\varphi_i(\mathbf{x})dx}$ $f(\mathbf{x})$ $\parcial \Omega_2$ $\varphi_i(\mathbf{x})$ $i$

Véase también

Literatura

V. M. Uroev. Ecuaciones de la física matemática. - M.: SI Yauza, 1998. - ISBN 5-88923-026-3 .

Notas

↑ MM Smirnov. Ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden. - Moscú: Nauka, 1964.
↑ 1 2 Soloveichik Yu.G. , Royak ME , Persova M.G. Método de elementos finitos para problemas escalares y vectoriales. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 p. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

física matemática

Tipos de ecuaciones

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