Cierre (topología)

Una clausura  es una construcción que da el conjunto cerrado más pequeño que contiene un conjunto dado de un espacio topológico .

El cierre de un conjunto se suele denotar Otra notación:

Definiciones

Las siguientes dos definiciones son equivalentes.

Como el conjunto cerrado más pequeño

Sea un subconjunto de un espacio topológico, la clausura en es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen

Comentario. Dado que la intersección de una familia arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada, el cierre siempre es cerrado.

A través de puntos de contacto

Un punto en un espacio topológico se llama punto de contacto de un conjunto si cualquier vecindad contiene al menos un punto del conjunto

El conjunto de todos los puntos de contacto se llama cierre .

Propiedades

  1. El cierre del conjunto es cerrado.
  2. La clausura de un conjunto contiene al propio conjunto, es decir,
  3. La clausura de un conjunto contiene todos sus puntos límite .
  4. Un conjunto es cerrado si y solo si coincide con su clausura, es decir
  5. Propiedad de idempotencia : la aplicación repetida de la operación de cierre no cambia el resultado (que se sigue inmediatamente de las propiedades 1 y 4) :
  6. El cierre conserva la relación de anidamiento, es decir,
  7. La clausura de una unión es la unión de clausuras, es decir,
  8. Un cierre de intersección es un subconjunto de la intersección de cierres, es decir,

Ejemplos

En todos los ejemplos siguientes, el espacio topológico es la línea real con la topología estándar definida en ella.