Función medible

Las funciones medibles representan una clase natural de funciones que conectan espacios con álgebras de conjuntos distinguidas , en particular, espacios medibles .

Definición

Sean y sean dos conjuntos con álgebras de subconjunto distinguidas . Entonces la función se llama - medible , o simplemente medible , si la preimagen de cualquier conjunto pertenece a , es decir $(X,{\mathcal {F}})$ $(Y,{\mathcal {G}})$ $f:X\a Y$ ${\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}$ ${\ matemáticas {G}}$ ${\ matemáticas {F}}$

\forall B\in {\mathcal {G)),\;f^{{-1}}(B)\in {\mathcal {F)),

donde significa la imagen inversa del conjunto . $f^{-1}(B)$ $B$

Notas

Si y son espacios topológicos y álgebras y no se establecen explícitamente, entonces se supone que estos son σ-álgebras de Borel de los espacios correspondientes. $X$ $Y$ ${\ matemáticas {F}}$ ${\ matemáticas {G}}$
El significado de esta definición es que si se da una medida sobre un conjunto, entonces esta función induce (transfiere) esta medida al conjunto . $X$ $Y$

Funciones medibles de valor real

Sea dada una función . Entonces, la definición anterior de mensurabilidad es equivalente a cualquiera de las siguientes: $f:(X,{\mathcal {F)))\to ({\mathbb {R)),{\mathcal {B))({\mathbb {R))))$

La función es medible si $F$ $\forall c\in \mathbb {R} ,\;\{x\in X\mid f(x)\ >c\}\in {\mathcal {F))$ .

La función es medible si $F$ $\forall a,b\in {\mathbb {R}}$ , tal que , tenemos , $a \ leq b$ $\{x\in X\mid f(x)\in \langle a,b\rangle \}\in {\mathcal {F))$

donde denota cualquier intervalo, abierto, semiabierto o cerrado.

{\ estilo de visualización \ langle a, b \ rangle}

Definiciones relacionadas

Sean y dos copias de la recta real junto con su σ-álgebra de Borel . Entonces la función medible se llama Borel . $(X,{\mathcal {F}})=({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}))$ $(Y,{\mathcal {G}})=({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}))$ $f:({\mathbb {R)),{\mathcal {B))({\mathbb {R))))\to ({\mathbb {R)),{\mathcal {B))({\mathbb {R)))$
Una función medible , donde es el conjunto de resultados elementales , y es el σ-álgebra de eventos aleatorios , se denomina elemento aleatorio . Un caso especial de un elemento aleatorio es una variable aleatoria para la cual . $f:(\Omega ,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})$ $\Omega$ ${\ matemáticas {F}}$ $(Y,{\mathcal {G}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$

Ejemplos

Sea una función continua . Entonces es medible con respecto al σ-álgebra de Borel en la recta real. $f:\mathbb {R} \a \mathbb {R}$
Sea y un indicador del conjunto Entonces la función no es medible. $f:(X,{\mathcal {F}})\to ({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}})))),$ $f(x)={\mathbf {1}}_{A}(x),\;x\en X$ $A\no\in {\mathcal {F}).$ $F$

Propiedades

El teorema de Luzin . Una función es medible si y sólo si para cualquiera existe una función continua que difiere de un conjunto de medidas no mayor que . $f\colon \mathbb {R} \a \mathbb {R}$ $\varepsilon >0$ $h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $F$ $\varepsilon$

Historia

En 1901, el matemático francés A. Lebesgue , basado en la teoría de la integral de Lebesgue que construyó , se planteó la tarea: encontrar una clase de funciones que fuera más amplia que la analítica, pero que al mismo tiempo permitiera aplicar muchos métodos analíticos a eso. En ese momento, ya existía una teoría general de la medida desarrollada por E. Borel (1898), y los primeros trabajos de Lebesgue se basaron en la teoría de Borel. En la disertación de Lebesgue (1902), la teoría de la medida se generalizó a la llamada medida de Lebesgue . Lebesgue definió los conceptos de conjuntos medibles, funciones medibles acotadas e integrales para ellos, demostró que todas las funciones acotadas "ordinarias" estudiadas en análisis son medibles, y que la clase de funciones medibles se cierra bajo operaciones analíticas básicas, incluida la operación de pasar a el limite En 1904, Lebesgue generalizó su teoría eliminando la condición de acotación de una función.

Las investigaciones de Lebesgue encontraron una amplia respuesta científica, fueron continuadas y desarrolladas por muchos matemáticos: E Borel, M. Ries , J. Vitali , M. R. Fréchet , N. N. Luzin , D. F. Egorov y otros El concepto de convergencia en lo mínimo (1909), el Se investigaron en profundidad las propiedades topológicas de la clase de funciones medibles.

Los trabajos de Lebesgue tenían otro significado conceptual importante: estaban completamente basados en la teoría de conjuntos de Cantor , que era controvertida en esos años , y la fecundidad de la teoría de Lebesgue sirvió como un fuerte argumento para aceptar la teoría de conjuntos como fundamento de las matemáticas.

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional, 4ª ed., M.: Nauka, 1976, 544 págs.
Medvedev F. A. Sobre la historia del concepto de una función medible. // Investigación histórica y matemática . - M .: Fizmatgiz , 1959. - N° 12 . - S. 481-492 .
Khalmosh P. Teoría de las medidas. M.: Editorial de literatura extranjera, 1953.