Espacio medible

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Un espacio medible es un par , donde es un conjunto y es algún -álgebra de sus subconjuntos. [una] $(X,{\mathfrak{A}})$ $X$ ${\mathfrak{A}}$ $\sigma$

Información básica

Un espacio topológico medible es un espacio medible en el que se elige un álgebra generada por alguna base de conjuntos del espacio topológico X. El álgebra mínima que contiene todos los conjuntos abiertos se denomina álgebra de Borel del espacio X; en este caso, los conjuntos se llaman Borel . $(X,{\mathfrak{A}})$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $\sigma$ $\sigma$ $A\en {\mathfrak {A}}$

Un espacio medible se llama separable si existe algún sistema contable de conjuntos que separa los puntos del espacio y genera el álgebra correspondiente . Se dice que un sistema de conjuntos , separa puntos del espacio , si para alguno existen conjuntos disjuntos tales que . $(X,{\mathfrak{A}})$ ${\mathfrak{C}}$ $X$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak{C}}$ $X$ ${\ estilo de visualización x_ {1}, x_ {2} \ en X}$ $A_{1},A_{2}\in {\mathfrak{C))$ $x_{1}\en A_{1},x_{2}\en A_{2}$

El producto de espacios medibles es el espacio medible , , en el cual - álgebra , es generado por el producto de - álgebras y , es decir es generado por un semiring de todos los conjuntos rectangulares posibles de la forma , donde , . $(X_{1},{\mathfrak{A}}_{1})$ $(X_{2},{\mathfrak{A}}_{2})$ $(X,{\mathfrak{A}})$ $X=X_{1}\veces X_{2}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $\sigma$ ${\mathfrak{A}}_{1}$ ${\mathfrak{A}}_{2}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}_{1}\times {\mathfrak {A}}_{2}$ $A_{1}\veces A_{2}$ $A_{1}\in {\mathfrak{A}}_{1}$ $A_{2}\in {\mathfrak{A}}_{2}$

Sea un espacio medible y sea un conjunto finito de índices . Un espacio medible , donde es - un producto múltiple del espacio por sí mismo, y - el álgebra es - un producto múltiple de las correspondientes - álgebras , se denomina espacio de coordenadas medibles . Los puntos de este espacio están dados por coordenadas . Si es un conjunto arbitrario, entonces el espacio de coordenadas se define como la colección de todas las funciones en el conjunto con valores en el espacio (los valores individuales pueden interpretarse como las coordenadas de un punto que pertenece al espacio ). $(E,{\mathfrak{B}})$ $T$ $t=1,...,n.$ $(X,{\mathfrak{A}})$ ${\ estilo de visualización X = E ^ {T}}$ $norte$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}^{T}$ $norte$ $\sigma$ ${\mathfrak{B}}$ ${\ Displaystyle x = {x (1),..., x (n)))$ ${\ estilo de visualización X = E ^ {T}}$ ${\ estilo de visualización x (t), t \ en T}$ $T$ ${\ estilo de visualización X = E ^ {T}}$ ${\ estilo de visualización x = x (t)}$ $T$ $mi$ ${\ estilo de visualización x (t)}$ ${\ estilo de visualización x = x (t)}$ ${\ estilo de visualización X = E ^ {T}}$

Sean puntos arbitrarios del conjunto , donde es un número finito, y son subconjuntos arbitrarios del espacio . mucho tipo $t_{1},...,t_{n}$ $T$ $norte$ ${\displaystyle B_{1},...,B_{n))$ $mi$

{x(t_{1})\en B_{1},...,x(t_{n})\en B_{n))

perteneciente al espacio se llama conjunto cilíndrico en . En otras palabras, el conjunto cilíndrico está formado por aquellos y sólo aquellos puntos cuyas coordenadas están incluidas en los conjuntos correspondientes . El sistema de todos los conjuntos cilíndricos, para los que están incluidos en el -álgebra del espacio , es un semicírculo . Un espacio de coordenadas medible es un espacio con un álgebra generado por un semicírculo . $X$ ${\ estilo de visualización X = E ^ {T}}$ ${\ estilo de visualización x = x (t)}$ ${\ estilo de visualización x (t_ {1}),..., x (t_ {n})}$ ${\displaystyle B_{1},...,B_{n))$ ${\displaystyle B_{1},...,B_{n))$ $\sigma$ ${\mathfrak{B}}$ $mi$ ${\mathfrak{B}}^{T}$ $(X,{\mathfrak{A}})$ ${\ estilo de visualización X = E ^ {T}}$ $\sigma$ ${\mathfrak{A}}$ ${\mathfrak{B}}^{T}$

Sea , un álgebra generada por un semicírculo de todos los conjuntos cilíndricos posibles con índices arbitrarios . Si un punto en el espacio está incluido en el conjunto desde y otro punto es tal que las coordenadas correspondientes de estos puntos son las mismas: para todos , entonces también está incluido en . Cualquier conjunto A de - álgebra pertenece simultáneamente a algún - álgebra , donde - es algún conjunto contable (dependiendo, en términos generales, del conjunto S en consideración). ${\mathfrak{A}}(S)$ $S\subseteq T$ $\sigma$ ${\mathfrak{B}}^{S}$ $t_{1},...,t_{n}\en S$ ${\ estilo de visualización x'=x'(t)}$ ${\ estilo de visualización X = E ^ {T}}$ $A$ ${\mathfrak{A}}(S)$ ${\ estilo de visualización x''=x''(t)}$ ${\ estilo de visualización x'(t)=x''(t)}$ ${\ estilo de visualización t \ en S}$ ${\ estilo de visualización x''=x''(t)}$ $A$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(T)$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(S)$ $S$

Sea una función sobre un espacio medible con valores en un espacio arbitrario . El conjunto de todos los conjuntos tales que las imágenes inversas están en el -álgebra de un espacio es un -álgebra. ${\ estilo de visualización \ phi = \ phi (x)}$ $(X,{\mathfrak{A}})$ $Y$ ${\mathfrak{B}}_{\phi}$ $B\subconjunto Y$ ${\ estilo de visualización \ {\ phi \ en B \} = \ phi ^ {-1} (B)}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $(X,{\mathfrak{A}})$ $\sigma$

Sea un espacio arbitrario y sea una función con valores en un espacio medible . El conjunto de todos los conjuntos que son preimágenes de - algebra : es - algebra. $X$ ${\ estilo de visualización \ phi = \ phi (x)}$ $X$ $(Y,{\mathfrak{B}})$ ${\mathfrak{A}}^{\phi }$ $A\subconjunto X$ $B$ $\sigma$ ${\mathfrak{B}}$ $A=\{\phi \en B\}$ $\sigma$

Sean , espacios medibles. Una función se llama ( ) medible si para la preimagen se incluye en el -álgebra . Si algún sistema de conjuntos genera -álgebra , entonces la función es medible si y sólo si para cualquiera entra la preimagen . $(X,{\mathfrak{A}})$ $(Y,{\mathfrak{B}})$ ${\ estilo de visualización \ phi = \ phi (x)}$ ${\mathfrak{A},{\mathfrak{B}}$ $B\in {\mathfrak{B}}$ $A=\{\phi \en B\}$ $\sigma$ ${\mathfrak{A}}$ ${\mathfrak{C}}$ $\sigma$ ${\mathfrak{B}}$ $\fi$ $B\in {\mathfrak{C}}$ ${\ estilo de visualización \ {\ phi \ en B \))$ ${\mathfrak{A}}$

Nota

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V. , Rozanov Yu. A. Teoría de la probabilidad (Conceptos básicos. Teoremas de límite. Procesos aleatorios) - M.: Edición principal de literatura física y matemática, Nauka Publishing House, 1973. - 496 páginas.