Indicatriz de Dupin

La indicatriz de Dupin o indicatriz de curvatura es una curva plana que da una representación visual de la curvatura de una superficie en un punto dado.

Definición y propiedades

La indicatriz de Dupin se encuentra en el plano tangente a la superficie en el punto , y es el conjunto de extremos de los segmentos separados del punto en la dirección del plano tangente y que tienen una longitud igual a , donde es el valor absoluto de la curvatura normal de la superficie en el punto en la dirección . La ecuación de la indicatriz de Dupin tiene la forma $S$ $pags$ $pags$ $tu$ ${\ estilo de visualización 1/{\ sqrt {\ kappa _ {u}}}}$ ${\ estilo de visualización \ kappa _ {u}}$ $S$ $pags$ $tu$

|II_{p}(v)|=1,

donde es el vector del plano tangente, a es la segunda forma fundamental de la superficie , en el punto . $v$ ${\ Displaystyle II_ {p}}$ $S$ $pags$

La indicatriz de Dupin es:

ellipse , si es un punto elíptico de la superficie, es decir la curvatura gaussiana es positiva. $pags$
- En particular, un círculo si es
un punto de redondeo ; $pags$

un par de hipérbolas conjugadas , si es un punto hiperbólico de la superficie, es decir la curvatura gaussiana es negativa;

pags

un par de líneas paralelas, si es un punto parabólico de la superficie, es decir la curvatura gaussiana es cero, pero la curvatura media no es cero.

pags

Historia

La indicatriz de Dupin lleva el nombre de Dupin , quien aplicó por primera vez esta curva al estudio de las superficies (1813).

Véase también

Curva asintótica

Literatura

Rashevsky P. K. Curso de geometría diferencial, - Cualquier edición.
Finikov S.P. Curso de geometría diferencial, - Cualquier edición.
Finikov S.P. Theory of Surfaces, - Cualquier edición.