Integral de colisión

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 29 de mayo de 2018; las comprobaciones requieren 3 ediciones .

La integral de colisión es una expresión que conforma el lado derecho de la ecuación cinética de Boltzmann , que determina la tasa de cambio en la función de distribución de partículas debido a las colisiones entre ellas: $f\left({\vec {r)),{\vec {p)),t\right)$

I(f,f_{1})=\left.{\frac {\parcial f}{\parcial t))\right|_{\mathrm {coll} }.

A veces, la integral de colisión se denomina operador de colisión y se denota (de la palabra alemana der Stoß - impacto). $\mathrm {St} f$

Si consideramos solo colisiones de pares elásticos en un gas de partículas del mismo tipo, entonces la integral de colisión tendrá la forma:

I(f,f_{1})=\int {\left(f^{\prime }f_{1}^{\prime }-ff_{1}\right)\cdot u\cdot \sigma ( u,\theta )d\Omega d^{3}p_{1}},

I(f,f_{1})=\int \omega \cdot (f^{\prime }f_{1}^{\prime }-ff_{1})\,d^{3}p_{ 1}d^{3}p^{\principal}d^{3}p_{1}^{\principal},

dónde

$f=f\left({\vec {r)),{\vec {p)),t\right),~f_{1}=f\left({\vec {r)),{\ vec{p}}_{1},t\derecha)$ son las funciones de distribución de partículas con impulsos antes de la colisión; ${\vec {p)),~{\vec {p}}_{1}$
$f^{\prime }=f\left({\vec {r)),{\vec {p))^{\prime },t\right),~f_{1}^{\prime } =f\izquierda({\vec {r)),{\vec {p}}_{1}^{\principal},t\derecha)$ son las funciones de distribución de partículas con impulsos después de la colisión; ${\vec {p}}^{\prime },~{\vec {p}}_{1}^{\prime }$
${\ estilo de visualización \ sigma (u, \ theta)}$ es la sección eficaz diferencial para la dispersión de partículas en un ángulo sólido ; $d\Omega$
${\vec {u}}={\vec {v}}-{\vec {v}}_{1}$ es la velocidad relativa de las partículas que chocan;
$\ theta$ es el ángulo entre la velocidad relativa y la línea de centros;
$\omega =\mathrm {prob} ({\vec {p}}\,{\vec {p}}_{1}|{\vec {p}}^{\prime }\,{\vec {p}}_{1}^{\principal})$ es la densidad de probabilidad de colisión.

\omega \,d^{3}p^{\prime }d^{3}p_{1}^{\prime }=u\,d\sigma ,

d\sigma =\sigma (u,\theta )\,d\Omega

La sección efectiva depende de la forma del potencial de interacción de dos partículas. En particular, para esferas elásticas rígidas de radio : $R$

\sigma (u,\theta )=4R^{2}\cos \theta

La integral de colisión es la diferencia de potencia entre fuentes y sumideros de partículas con momentos dados:

I(f,f_{1})=q_{+}-q_{-},

dónde

${\displaystyle q_{+}=\int \omega \cdot f^{\prime }f_{1}^{\prime }\,d^{3}p_{1}d^{3}p^{\prime }d^{3}p_{1}^{\principal))$ es el poder de las fuentes de partículas, es decir, el número de moléculas con cierto impulso en un punto dado, que aparecen por unidad de tiempo en una unidad de volumen y relacionadas con una unidad de intervalo de impulsos;
${\displaystyle q_{-}=\int \omega \cdot ff_{1}\,d^{3}p_{1}d^{3}p^{\prime }d^{3}p_{1}^ {\principal))$ - el poder de los sumideros de partículas, es decir, el número de moléculas con un cierto impulso en un punto dado, desapareciendo por unidad de tiempo en una unidad de volumen y relacionadas con una unidad de intervalo de impulsos.

Si los efectos cuánticos son significativos para las moléculas bajo consideración, entonces la integral de colisión toma la forma:

I(f,f_{1})=\int \omega \cdot \left(f^{\prime }f_{1}^{\prime }(1\pm f)(1\pm f_{1 })-ff_{1}(1\pm f^{\prime })(1\pm f_{1}^{\prime })\right)\,d^{3}p_{1}d^{3 }p^{\principal}d^{3}p_{1}^{\principal},

donde el signo "+" corresponde a bosones , y el signo "-" - a fermiones .

Aproximaciones

Modelo Bhatnagar-Gross-Krook [1]

$I(f,f^{\prime })={\frac {1}{\tau}}(ff^{\prime })$ ,

donde es el tiempo de relajación , es decir, el tiempo medio entre colisiones. $\tau$

Notas

↑ EJ Davis, G. Schweiger. La micropartícula en el aire .

Enlaces

Integral de colisión - Artículo de la Enciclopedia de Física