Espacio métrico inyectivo
Un espacio métrico inyectivo es un espacio métrico que tiene ciertas propiedades; tales espacios son la línea real, todos los árboles métricos y otros.
Definición
Se dice que un espacio métrico geodésico completo es inyectivo si una familia arbitraria de bolas tiene un punto común, si dos bolas cualesquiera de esta familia se cruzan.
Ejemplos
- Recta real , así como cualquier intervalo cerrado.
- Espacio de funciones sobre cualquier espacio con sup-norma.
- Cualquier árbol de métricas .
Propiedades
- En un espacio inyectivo, el radio de cualquier conjunto es la mitad de su diámetro.
- Así, los espacios inyectivos satisfacen la forma más fuerte del teorema de Young .
- El espacio inyectivo está completo .
- Cualquier mapeo breve de un espacio inyectivo de diámetro finito en sí mismo fija un punto.
- Un espacio métrico es inyectivo si y solo si es un objeto inyectivo en la categoría de espacios métricos y aplicaciones cortas con respecto a monomorfismos extremos .
- En otras palabras, un espacio es inyectivo si para cualquier mapeo corto e incrustación isométrica existe un mapeo corto tal que .
- Cualquier espacio métrico está incrustado en la llamada capa inyectiva , el espacio inyectivo mínimo que contiene el original. (El casco de inyección es similar al casco convexo .)
- El casco inyectivo de un espacio métrico dado se determina de manera única hasta una isometría que conmuta con una inyección.
