Fórmula iterativa de Heron

La fórmula iterativa de Heron tiene la forma

x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\

donde a es un número positivo fijo y a es cualquier número positivo. $x_{1}$

La fórmula iterativa define una secuencia decreciente (a partir del segundo elemento), que, para cualquier elección , converge rápidamente al valor ( raíz cuadrada de ), es decir $x_{1}$ ${\ sqrt {a}}$

\lim _{{n\rightarrow \infty}}x_{n}={\sqrt {a}}

Esta fórmula se puede obtener aplicando el método de Newton para resolver la ecuación . $hacha^{2}=0$

Ejemplo

Tratemos de calcular la raíz cuadrada de 25 usando el redondeo en los cálculos. Deje que nuestra primera conjetura para el valor sea el valor 3. ${\ sqrt {25}}$

norte	$x_{n}$	$x_{{n+1}}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\$	Valor aproximado $x_{{n+1}}$
una	3	${\frac {1}{2}}~\izquierda(3+{\frac {25}{3}}\derecha)\$	${\frac {1}{2}}~(3+8,33)={\frac {1}{2}}\cdot 11,33\aprox. 5,67$
2	5.67	${\frac{1}{2}}~\izquierda(5,67+{\frac{25}{5,67}}\derecha)\$	${\ fracción {1}{2}}~(5,67+4,41)={\ fracción {1}{2}}\cdot 10,08=5,04$
3	5.04	${\frac{1}{2}}~\izquierda(5,04+{\frac {25}{5,04}}\derecha)\$	${\frac{1}{2}}~(5,04+4,96)={\frac{1}{2}}\cdot 10=5$
cuatro	5	${\frac {1}{2}}~\izquierda(5+{\frac {25}{5}}\derecha)\$	${\frac{1}{2}}~(5+5)={\frac{1}{2}}\cdot 10=5$

Interpretación geométrica

Esta fórmula tiene una interpretación geométrica simple. Considere un rectángulo con área a y lado x 1 . Realizaremos elevaciones iterativas al cuadrado. Es decir, haremos que un lado del nuevo rectángulo sea igual a la media aritmética de ambos lados del paso anterior. Y tomamos el segundo lado tal que el área del nuevo rectángulo sea nuevamente igual a a . En los siguientes pasos, repetiremos el mismo proceso.

Fórmula iterativa de Heron

Ejemplo

Interpretación geométrica

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