Poliedro complejo

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Un politopo complejo es una generalización de un politopo en el espacio real a una estructura similar en un espacio complejo de Hilbert , donde se agrega una dimensión imaginaria a cada dimensión real .

Un poliedro complejo puede entenderse como un conjunto de puntos, rectas, planos, etc. complejos, donde varias rectas se intersecan en cada punto, varios planos se intersecan en cada recta, etc.

Sólo existe una definición precisa para los poliedros complejos regulares , que son configuraciones . Los poliedros complejos regulares están completamente descritos y pueden describirse utilizando la notación simbólica desarrollada por Coxeter .

También se describen algunos politopos complejos que no son regulares.

Definición y comentarios introductorios

La recta compleja tiene una dimensión con coordenadas reales y otra con coordenadas imaginarias . Si se utilizan coordenadas reales para ambas dimensiones, se habla de establecer dos dimensiones sobre números reales. Un plano real con un eje imaginario se llama diagrama de Argand . Debido a esto, a veces se le llama el plano complejo. El espacio bidimensional complejo (que a veces también se denomina plano complejo) es entonces un espacio de cuatro dimensiones sobre los números reales. ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$

Un politopo n complejo en un espacio n complejo es similar a un politopo n real en un espacio n real .

No existe un complejo natural análogo al orden de un punto en el eje real (o propiedades combinatorias relacionadas). En consecuencia, un poliedro complejo no puede ser considerado como una superficie continua y no limita el interior, como ocurre en el caso real.

En el caso de poliedros regulares , se puede dar una definición precisa utilizando el concepto de simetría. Para cualquier poliedro regular , el grupo de simetría (aquí, el grupo de reflexión complejo , llamado grupo de Shepard ) actúa transitivamente sobre banderas , es decir, sobre conjuntos anidados de puntos contenidos en líneas que pertenecen al plano, y así sucesivamente.

Más completamente, se dice que un conjunto P de subespacios (o planos ) afines de un espacio unitario complejo V de dimensión n es un politopo complejo regular si satisface las siguientes condiciones [1] [2] :

para cualquiera , si F es un plano en P de dimensión iy H es un plano en P de dimensión k tales que , entonces hay al menos dos planos G en P de dimensión j tales que ; $-1\leqslant i<j<k\leqslant n$ ${\ estilo de visualización F \ subconjunto H}$ $F\subconjunto G\subconjunto H$
para cualquier i , j tal que , si son planos del espacio P de dimensiones i , j , entonces el conjunto de planos entre F y G es conexo, en el sentido de que se puede obtener de cualquier miembro de este conjunto cualquier otro como una secuencia de incrustaciones $-1\leqslant i<j-2,j\leqslant n$ ${\ estilo de visualización F \ subconjunto G}$
el subconjunto de transformaciones unitarias V que no cambian P es transitivo sobre las banderas de los planos P (de dimensión i para todo i ) (Aquí, un plano de dimensión −1 significa el conjunto vacío). Así, por definición, los poliedros complejos regulares son configuraciones en el espacio complejo. ${\displaystyle F_{0}\subconjunto F_{1}\subconjunto \ldots \subconjunto F_{n))$ $F_{yo}$

Los poliedros complejos regulares fueron descubiertos por Shepard (1952) y su teoría fue desarrollada más tarde por Coxeter (1974).

Tres vistas sobre polígonos complejos regulares ,

{\ estilo de visualización {_{4}}\{4\}{_{2}}}

Este polígono complejo tiene 8 aristas (líneas complejas) etiquetadas como a .. h y 16 vértices. Cuatro vértices se encuentran en cada arista y dos aristas se intersecan en cada vértice. En la figura de la izquierda, los cuadrados no son elementos de un poliedro, sino que se dibujan únicamente para ayudar a reconocer los vértices que se encuentran en la misma línea compleja. El perímetro octogonal de la imagen de la izquierda no es un elemento de un poliedro, sino un polígono de Petri [3] . En la figura central, cada arista se representa como una línea real y se pueden ver fácilmente los cuatro vértices de cada línea.	Dibuje en perspectiva que represente 16 vértices como puntos negros y 8 4 aristas como cuadrados dentro de cada arista. El camino verde representa el perímetro octogonal de la imagen de la izquierda.

Un politopo complejo existe en un espacio complejo de dimensión equivalente. Por ejemplo, los vértices de un polígono complejo son puntos en el plano complejo y los bordes son líneas complejas que existen como subespacios (afines) del plano que se cruzan en los vértices. Por lo tanto, un borde puede estar dado por un solo número complejo. ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$

En un poliedro complejo regular, los vértices incidentes en una arista están dispuestos simétricamente con respecto al baricentro , que a menudo se usa como el origen del sistema de coordenadas de la arista (en el caso real, el baricentro es simplemente el medio de la arista). La simetría surge de reflexiones complejas sobre el baricentro. Esta reflexión deja el módulo de cualquier vértice sin cambios, pero cambia su argumento por un valor constante, moviéndolo a las coordenadas del siguiente vértice en orden. Así, podemos suponer (después de una adecuada elección de escala) que los vértices de una arista satisfacen la ecuación , donde p es el número de vértices incidentes. Así, en un diagrama de aristas de Argand, los puntos de vértice se encuentran en los vértices de un polígono regular centrado en el origen. ${\ estilo de visualización x ^ {p} -1 = 0}$

Tres proyecciones reales de un polígono regular complejo 4{4}2 con bordes a, b, c, d, e, f, g, h se ilustran arriba . El polígono tiene 16 vértices, que no están etiquetados individualmente para facilitar la visualización. Cada arista tiene cuatro vértices, y cada vértice se encuentra en dos aristas porque cada arista se cruza con otras cuatro aristas. En el primer diagrama, cada borde está representado por un cuadrado. Los lados del cuadrado no forman parte del polígono, sino que se dibujan únicamente para facilitar las conexiones visuales de los cuatro vértices. Las costillas están dispuestas simétricamente. (Tenga en cuenta que el diagrama se parece a la proyección plana B 4 Coxeter del teseracto , pero es estructuralmente diferente).

El diagrama central no mantiene la simetría octogonal en favor de la claridad. Cada borde se muestra como una línea real y cada punto de intersección de dos líneas es un vértice. La conexión entre los diferentes bordes es fácil de ver.

El último diagrama muestra la estructura proyectada en el espacio 3D: los dos cubos de vértice son en realidad del mismo tamaño, pero se ven desde diferentes perspectivas de distancia en el espacio 4D.

Poliedros unidimensionales complejos regulares

Un poliedro unidimensional real existe como un segmento cerrado en la línea real , definido por dos extremos o vértices. Su símbolo de Schläfli es {} . ${\ matemáticas {R}}^{1}$

De manera similar, un 1-politopo complejo existe como un conjunto p de vértices en la línea compleja . Se pueden representar como un conjunto de puntos en un diagrama de Argand ( x , y )= x + iy . Un politopo unidimensional complejo regular p {} tiene p ( p ≥ 2) vértices dispuestos como un polígono regular convexo { p } en el plano complejo [4] . ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$

A diferencia de los puntos de la recta real, los puntos de la recta compleja no tienen un orden natural. Entonces, a diferencia de los politopos reales, no se puede definir ningún interior [5] . Contrariamente a esto, los 1-politopos complejos a menudo se dibujan, como aquí, como polígonos regulares delimitados en el plano complejo.

Un politopo unidimensional real regular se representa mediante un símbolo de Schläfli vacío {} o un diagrama de Coxeter-Dynkin . El punto o nodo del diagrama de Coxeter-Dynkin representa el generador de reflexión, mientras que el círculo alrededor del nodo significa que el punto generador no está en el espejo, por lo que su imagen especular es diferente del punto mismo. De acuerdo con la notación extendida, un politopo unidimensional complejo regular con p vértices tiene un diagrama de Coxeter-Dynkin ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$ para cualquier entero positivo p (mayor o igual a 2). El número p se puede omitir si es igual a 2. Este poliedro también se puede representar con el símbolo de Schläfli vacío o . 1 es un marcador de posición que representa un reflejo inexistente o un generador de identidad con un período de 1. (Un politopo 0, real o complejo, es un punto y se representa como } {, o como .) ${_{p}}\{\},\}{_{p}}\{,\{\}{_{p}}$ ${_{p}}\{2\}{_{1}}$ ${\ estilo de visualización {_{1}}\{2\}{_{1}}}$

La simetría se indica mediante el diagrama de Coxeter. y puede describirse alternativamente en la notación de Coxeter como , o , o . La simetría es isomorfa al grupo cíclico , de orden p [6] . Los subgrupos son cualquier divisor total , donde . ${_{p}}[],[]{_{p}}$ ${\ estilo de visualización]{_{p}}[,{_{p}}[2]{_{1}}}$ ${\ estilo de visualización {_{p}}[1]{_{p}}}$ ${\ estilo de visualización {_ {p}} []}$ $d,{_{d))[]$ $d\geqslant 2$

Generador de operador unitario paraparece una rotación de 2π/ p radianes en el sentido de las agujas del reloj, yel borde está formado por la aplicación sucesiva de un reflejo complejo. El generador de reflexión complejo para un 1-politopo con p vértices es . Si p = 2, el generador es igual a la simetría central en el plano real. $e^{2{\pi }i/p}=\cos(2{\pi }/p)+i\sin(2{\pi }/p)$ $e^{{\pi }i}=-1$

En politopos complejos de dimensiones superiores, los politopos 1 forman p -bordes. Una arista doble es similar a una arista real regular en que contiene dos vértices pero no necesariamente existe en la línea real.

Polígonos complejos regulares

Aunque los politopos de 1 pueden tener un valor de p ilimitado , los polígonos complejos regulares finitos, con la excepción de los polígonos de doble prisma , están limitados a 5 aristas (aristas pentagonales) y los apeirogons regulares infinitos también incluyen 6 aristas (aristas hexagonales). ${_{p}}\{4\}{_{2}}$

Notación

Notación de Schläfli modificada de Shepard

Shepard originalmente ideó una forma modificada de notación de Schläfli para poliedros regulares. Para un polígono delimitado por p 1 -aristas, con p 2 -conjuntos como figuras de vértice y un grupo de simetría común de orden g , denotamos el polígono como. ${\displaystyle p_{1}(g)p_{2))$

El número de vértices V es entonces igual a , y el número de aristas E es igual a . ${\displaystyle g/p_{2))$ ${\displaystyle g/p_{1))$

El polígono complejo ilustrado arriba tiene ocho aristas cuadradas ( ) y dieciséis vértices ( ). De esto podemos concluir que g = 32, lo que da el símbolo de Schläfli modificado 4(32)2. ${\ estilo de visualización p_ {1} = 4}$ ${\ estilo de visualización p_ {2} = 2}$

Notación de Schläfli revisada

Una notación más moderna se debe a Coxeter [8] y se basa en la teoría de grupos. El símbolo del grupo de simetría es . ${\displaystyle {_{p_{1))}\{q\}{_{p_{2))))$ ${_{p_{1}}}[q]{_{p_{2}}}$

El grupo de simetría está representado por dos generadores , donde: . Si q es par, . Si q es impar, . Cuando q es impar, . ${_{p_{1}}}[q]{_{p_{2}}}$ $R_{1},R_{2}$ $R_{1}^{p_{1}}=R_{2}^{p_{2}}=yo$ ${\ estilo de visualización (R_{2}R_{1})^{q/2}=(R_{1}R_{2})^{q/2}}$ $(R_{2}R_{1})^{(q-1)/2}R_{2}=(R_{1}R_{2})^{(q-1)/2}R_{ una}$ ${\displaystyle p_{1}=p_{2))$

Para presas , . ${\ estilo de visualización {_{4}}[4]{_{2}}}$ $R_{1}^{4}=R_{2}^{2}=yo$ ${\ estilo de visualización (R_{2}R_{1})^{2}=(R_{1}R_{2})^{2))$

Para presas , . ${\ estilo de visualización {_{3}}[5]{_{3}}}$ $R_{1}^{3}=R_{2}^{3}=yo$ ${\ estilo de visualización (R_{2}R_{1})^{2}R_{2}=(R_{1}R_{2})^{2}R_{1))$

Diagramas de Coxeter-Dynkin

Coxeter también generalizó el uso de diagramas de Coxeter-Dynkin a poliedros complejos. Por ejemplo, un polígono complejo se representa mediante un diagrama . ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ , y el grupo de simetría equivalente está representado por un diagrama sin un círculo ${_{p}}[q]{_{r}}$ . Los nodos p y r representan espejos que dan imágenes de p y r en el plano. Los nodos sin etiqueta en el diagrama tienen 2 etiquetas implícitas. Por ejemplo, un polígono regular real tiene la notación , o { q }, o ${_{2}}\{q\}{_{2}}$ .

Hay una restricción: los nodos conectados por órdenes de ramales impares deben tener órdenes de nodos idénticos. Si no, el grupo creará poliedros "estrellados" con elementos superpuestos. De este modo,yson polígonos ordinarios, mientras quees estelar.

Enumeración de polígonos regulares

Coxeter proporcionó una lista de polígonos complejos regulares en formato . Polígono regular complejo, o ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$ ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ , tiene p -aristas y q -figuras de vértice diagonal . es un politopo finito si . ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ ${\ estilo de visualización (p + r) q> pr (q-2)}$

La simetría de un polígono regular, escrita como , se denomina grupo de Shepard , por analogía con el grupo de Coxeter , que permite reflexiones tanto reales como complejas. ${_{p}}[q]{_{r}}$

Para grupos no estrellados, el orden del grupo se puede calcular como [9] . ${_{p}}[q]{_{r}}$ ${\displaystyle g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2))$

El número de Coxeter para es , por lo que el orden del grupo también se puede calcular como . Un polinomio complejo regular se puede dibujar en una proyección ortogonal con simetría h -gonal. ${_{p}}[q]{_{r}}$ ${\ estilo de pantalla h = 2/(1/p+2/q+1/r-1)}$ $g=2h^{2}/q$

Las soluciones de rango 2 generan los siguientes polígonos complejos:

Grupo	$G_{3}=G(q,1,1)$	$G_{2}=G(p,1,2)$	${\ Displaystyle G_ {4}}$	${\ estilo de visualización G_ {6}}$	G5 _	G8 _	G14 _	G9 _	G10 _	G20 _	G16 _	G21 _	G17 _	G18 _
	${_{2}}[q]{_{2}}$ , q =3.4…	${\ estilo de visualización {_ {p}} [4] {_ {2}}}$ , p = 2,3…	${\ estilo de visualización {_{3}}[3]{_{3}}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}[6]{_{2}}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}[4]{_{3}}}$	${\ estilo de visualización {_{4}}[3]{_{4}}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}[8]{_{2}}}$	${\ estilo de visualización {_{4}}[6]{_{2}}}$	${\ estilo de visualización {_{4}}[4]{_{3}}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}[5]{_{3}}}$	${\ estilo de visualización {_{5}}[3]{_{5}}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}[10]{_{2}}}$	${\ estilo de visualización {_{5}}[6]{_{2}}}$	${\ estilo de visualización {_{5}}[4]{_{3}}}$

Ordenar	2 q	2p2 _ _	24	48	72	96	144	192	288	360	600	720	1200	1800

Se excluyen las soluciones con q impar y p y r desiguales : , y . ${_{6}}[3]{_{2}},{_{6}}[3]{_{3}},{_{9}}[3]{_{3}} ,{_{1}2}[3]{_{3}},\ldots ,{_{5}}[5]{_{2}},{_{6}}[5]{_{2 }},{_{8}}[5]{_{2}},{_{9}}[5]{_{2}},{_{4}}[7]{_{2}} ,{_{9}}[5]{_{2}},{_{3}}[9]{_{2}}$ ${\ estilo de visualización {_{3}}[11]{_{2}}}$

Otros enteros q con p y r desiguales crean grupos de estrellas con regiones fundamentales superpuestas:,,,,, y.

El polígono dual de un polígono es . El polígono de vista es autodual. Los grupos de vistas tienen la mitad de la simetría , de modo que un polígono regular ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ ${_{r}}\{q\}{_{p}}$ ${_{p}}\{q\}{_{p}}$ ${_{p}}[2q]{_{2}}$ ${_{p}}[q]{_{p}}$ es lo mismo que el cuasirregular. También un polígono regular con el mismo orden de nodos,, tiene una construcción alterna , permitiendo que los bordes adyacentes tengan dos colores diferentes [10] .

El orden de grupo, g , se usa para calcular el número total de vértices y aristas. El poliedro tiene vértices g / r y aristas g / p . Si p = r , el número de vértices y aristas es igual. Esta condición es necesaria si q es impar.

Grupo	Ordenar	numero coxeter	Polígono		picos	costillas		notas
G(q, q,2) q=2,3,4,… ${_{2}}[q]{_{2}}=[q]$	2 q	q	${_{2}}\{q\}{_{2}}$		q	q	{}	Polígonos regulares reales Igual que Igual quesi q es par

Grupo	Ordenar	numero coxeter	Poliedro		picos	costillas		notas
G( p ,1,2) p=2,3,4,… ${\ estilo de visualización {_ {p}} [4] {_ {2}}}$	2p2 _ _	2p _	$p(2p^{2})2$	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	$p^{2}$	2p _	${\ estilo de visualización {_ {p}} \ {\}}$	igual que o ${_{p}}\{\}{\times}{_{p}}\{\}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como un duoprisma p - p
	2p2 _ _	2p _	2(2 pag 2 ) pag	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	2p _	$p^{2}$	{}	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como p - p duopyramid
G(2,1,2) ${\ estilo de visualización {_{2}}[4]{_{2}}=[4]}$	ocho	cuatro		${_{2}}\{4\}{_{2}}=\{4\}$	cuatro	cuatro	{}	igual que {}×{} o verdadero cuadrado
G(3,1,2) ${\ estilo de visualización {_{3}}[4]{_{2}}}$	Dieciocho	6	6(18)2	${\ estilo de visualización {_{3}}\{4\}{_{2}}}$	9	6	${\ estilo de visualización {_ {3}} \ {\}}$	igual que o ${_{3}}\{\}{\times}{_{3}}\{\}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como 3-3 duoprisma
G(3,1,2) ${\ estilo de visualización {_{3}}[4]{_{2}}}$	Dieciocho	6	2(18)3	${\ estilo de visualización {_{2}}\{4\}{_{3}}}$	6	9	{}	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como 3-3 duoprisma
G(4,1,2) ${\ estilo de visualización {_{4}}[4]{_{2}}}$	32	ocho	8(32)2	${\ estilo de visualización {_{4}}\{4\}{_{2}}}$	dieciséis	ocho	${\ estilo de visualización {_ {4}} \ {\}}$	igual que o ${_{4}}\{\}{\times}{_{4}}\{\}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como 4-4 duoprismas o {4,3,3}
G(4,1,2) ${\ estilo de visualización {_{4}}[4]{_{2}}}$	32	ocho	2(32)4	${\ estilo de visualización {_{2}}\{4\}{_{4}}}$	ocho	dieciséis	{}	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como 4-4 duoprismas o {3,3,4}
G(5,1,2) ${\ estilo de visualización {_{5}}[4]{_{2}}}$	cincuenta	25	5(50)2	${_{5}}\{4\}{_{2}}$	25	diez	${\ estilo de visualización {_ {5}} \ {\}}$	igual que o ${_{5}}\{\}{\times}{_{5}}\{\}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como un duoprisma 5,5
G(5,1,2) ${\ estilo de visualización {_{5}}[4]{_{2}}}$	cincuenta	25	2(50)5	${\ estilo de visualización {_{2}}\{4\}{_{5}}}$	diez	25	{}	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como 5-5 duopirámide
G(6,1,2) ${\ estilo de visualización {_{6}}[4]{_{2}}}$	72	36	6(72)2	6 {4} 2	36	12	${\ estilo de visualización {_ {6}} \ {\}}$	igual que o ${_{6}}\{\}{\times}{_{6}}\{\}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como duoprisma 6-6
G(6,1,2) ${\ estilo de visualización {_{6}}[4]{_{2}}}$	72	36	2(72)6	${_{2}}\{4\}{_{6}}$	12	36	{}	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como duopirámide 6-6
$G_{4}=G(1,1,2)$ 3 [3] 3 <2,3,3>	24	6	3(24)3		ocho	ocho	${\ estilo de visualización {_ {3}} \ {\}}$	La configuración de Möbius-Cantor es autodual, al igual que ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como {3,3,4}
${\ estilo de visualización G_ {6}}$ ${\ estilo de visualización {_{3}}[6]{_{2}}}$	48	12	3(48)2	${_{3}}\{6\}{_{2}}$	24	dieciséis	3 {}	lo mismo que ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como {3,4,3}
				${_{3}}\{3\}{_{2}}$	24	dieciséis	3 {}	polígono estrella
			2(48)3	${\ estilo de visualización {_{2}}\{6\}{_{3}}}$	dieciséis	24	{}	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como {4,3,3}
				${\ estilo de visualización {_{2}}\{3\}{_{3}}}$	dieciséis	24	{}	polígono estrella
G 5 3 [4] 3	72	12	3(72)3	${\ estilo de visualización {_{3}}\{4\}{_{3}}}$	24	24	3 {}	autodual, igual que ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como {3,4,3}
G 8 4 [3] 4	96	12	4(96)4	4 {3} 4	24	24	4 {}	autodual, igual que ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como {3,4,3}
G14 _ ${\ estilo de visualización {_{3}}[8]{_{2}}}$	144	24	3(144)2	${_{3}}\{8\}{_{2}}$	72	48	3 {}	lo mismo que
				3 {8/3} 2	72	48	3 {}	polígono estrella, igual que
			2(144)3	2 {8} 3	48	72	{}
				2 {8/3} 3	48	72	{}	polígono estrella
G 9 4 [6] 2	192	24	4(192)2	4 {6} 2	96	48	4 {}	lo mismo que
			2(192)4	2 {6} 4	48	96	{}
				4 {3} 2	96	48	{}	polígono estrella
				2 {3} 4	48	96	{}	polígono estrella
G 10 4 [4] 3	288	24	4(288)3	4 {4} 3	96	72	4 {}
		12		4 {8/3} 3	96	72	4 {}	polígono estrella
		24	3(288)4	3 {4} 4	72	96	3 {}
		12		3 {8/3} 4	72	96	3 {}	polígono estrella
G 20 3 [5] 3	360	treinta	3(360)3	3 {5} 3	120	120	3 {}	autodual, igual que ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como {3,3,5}
G 20 3 [5] 3	360	treinta		3 {5/2} 3	120	120	3 {}	polígono de estrella auto-dual
G 16 5 [3] 5	600	treinta	5(600)5	5 {3} 5	120	120	5 {}	autodual, igual que ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como {3,3,5}
G 16 5 [3] 5	600	diez		5 {5/2} 5	120	120	5 {}	polígono de estrella auto-dual
G 21 3 [10] 2	720	60	3(720)2	3 {10} 2	360	240	3 {}	lo mismo que
				3 {5} 2				polígono estrella
				3 {10/3} 2				polígono estrella, igual que
				3 {5/2} 2				polígono estrella
			2(720)3	2 {10} 3	240	360	{}
				2 {5} 3				polígono estrella
				2 {10/3} 3				polígono estrella
				2 {5/2} 3				polígono estrella
G 17 5 [6] 2	1200	60	5(1200)2	5 {6} 2	600	240	5 {}	lo mismo que ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como {5,3,3}
		veinte		5 {5} 2				polígono estrella
		veinte		5 {10/3} 2				polígono estrella
		60		5 {3} 2				polígono estrella
		60	2(1200)5	2 {6} 5	240	600	{}
		veinte		2 {5} 5				polígono estrella
		veinte		2 {10/3} 5				polígono estrella
		60		2 {3} 5				polígono estrella
G 18 5 [4] 3	1800	60	5(1800)3	5 {4} 3	600	360	5 {}	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación como {5,3,3}
		quince		5 {10/3} 3				polígono estrella
		treinta		5 {3} 3				polígono estrella
		treinta		5 {5/2} 3				polígono estrella
		60	3(1800)5	3 {4} 5	360	600	3 {}
		quince		3 {10/3} 5				polígono estrella
		treinta		3 {3} 5				polígono estrella
		treinta		3 {5/2} 5				polígono estrella

Visualización de polígonos complejos regulares

Los polígonos de la forma p {2 r } q se pueden visualizar mediante q conjuntos coloreados de p -aristas. Cada borde p parece un polígono regular, pero no hay caras.

Proyecciones ortogonales 2D de polígonos complejos

{_{2}}\{r\}{_{q}}

Ver poliedros se denominan ortoplexos generalizados . Tienen los mismos vértices que las duopirámides 4D q - q , donde los vértices están conectados por 2 aristas. ${_{2}}\{4\}{_{q}}$

2 {4} 2 ,,
con 4 vértices
y 4 aristas
2 {4} 3 ,,
con 6 vértices y
9 aristas [11]
2 {4} 4 ,,
con 8 vértices
y 16 aristas
2 {4} 5 ,,
con 10 vértices
y 25 aristas
2 {4} 6 ,,
con 12 vértices
y 36 aristas
2 {4} 7 ,,
con 14 vértices
y 49 aristas
2 {4} 8 ,,
con 16 vértices
y 64 aristas
2 {4} 9 ,,
con 18 vértices
y 81 aristas
2 {4} 10 ,,
con 20 vértices
y 100 aristas

Polígonos complejos

{_{p}}\{4\}{_{2}}

Los polígonos de vista se denominan hipercubos generalizados (cuadrados por polígonos). Los polígonos tienen los mismos vértices que los duoprismas 4D p − p , los vértices están conectados por p-aristas. Los vértices se dibujan en verde y los bordes p se dibujan alternativamente en rojo y azul. La proyección está ligeramente distorsionada para las dimensiones impares para alejar los vértices superpuestos del centro. ${_{p}}\{4\}{_{2}}$

2 {4} 2 ,o,
con 4 vértices
y 4 aristas 2
3 {4} 2 ,o,
con 9 vértices
y 6 (triangulares) de 3 aristas [11]
4 {4} 2 ,o,
con 16 vértices
y 8 (cuadrados) de 4 aristas
4 {4} 2 ,o,
con 25 vértices
y 10 (pentagonales) de 5 aristas
4 {4} 2 ,o,
con 36 vértices
y 12 (hexagonal) de 6 aristas
4 {4} 2 ,o,
con 49 vértices
y 14 (heptagonales) de 7 aristas
4 {4} 2 ,o,
con 64 vértices
y 16 (octogonales) de 8 aristas
4 {4} 2 ,o,
con 81 vértices
y 18 (nueve ángulos) 9 aristas
4 {4} 2 ,o,
con 100 vértices
y 20 (decagonal) 10-aristas

Proyecciones en perspectiva 3D de polígonos complejos p {4} 2

3 {4} 2 , o
con 9 vértices, 6 3 aristas con 2 juegos de colores
4 {4} 2 ,o
con 16 vértices, 8 de 4 aristas en conjuntos de 2 columnas (cuadrado de 4 aristas sombreado)
5 {4} 2 ,ocon 25 vértices, 10 5 aristas en conjuntos de 2 colores

Otros polígonos complejos p { r } 2

3 {6} 2 ,o, 24 vértices (negro) y 16 de 3 aristas, pintados en 2 colores (rojo y azul) [12]
3 {8} 2 ,o, 72 vértices (negro) y 48 3 aristas pintadas en 2 colores (rojo y azul) [13]

Proyecciones ortogonales 2D de polígonos complejos, p { r } p

Los polígonos de vista tienen el mismo número de vértices y aristas. También son autodual. ${_{p}}\{r\}{_{p}}$

3 {3} 3 ,o,
con 8 vértices (negro) y 8 3 aristas coloreadas en 2 colores (rojo y azul) [14]
3 {4} 3 ,o,
con 24 vértices y 24 3 aristas mostrados en 3 colores [15]
4 {3} 4 ,o,
con 24 vértices y 24 4 aristas mostrados en 4 colores [15]
3 {5} 3 ,o,
con 120 vértices y 120 3 aristas [16]
5 {3} 5 ,o,
con 120 vértices y 120 5 aristas [17]

Poliedros complejos regulares

En general, un politopo complejo regular se representa mediante un símbolo de Coxeter o un diagrama de Coxeter. ${_{p}}\{z_{1}\}{_{q}}\{z_{2}\}{_{r}}\{z_{3}\}{_{s} }\ldots$ … que tiene simetría … o ${_{p}}[z_{1}]{_{q}}[z_{2}]{_{r}}[z_{3}]{_{s}}$ …. [Dieciocho]

Hay infinitas familias de poliedros complejos regulares que aparecen en todas las dimensiones. Estas familias generalizan hipercubos y ortoedros en el espacio real. El "hiperrectángulo generalizado" de Shepard generaliza el hipercubo. Tiene símbolo y diagrama . ${\gamma }_{n}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\ldots {_{2 }}\{3\}{_{2}}$ …. Su grupo de simetría tiene un diagrama . En la clasificación de Shepard-Todd, este es el grupo G( p , 1, n ), que generaliza las matrices de permutación con signo. Su politopo regular dual, el "politopo cruzado generalizado", está representado por el símbolo y el diagrama ${_{p}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}\ldots {_{2}}[3]{_{2}}$ $\beta _{n}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\ldots {_{2}} \{4\}{_{p}}$ …[19] .

Un politopo complejo regular unidimensional se representa como ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$ , tiene p vértices y tiene una representación real como un polígono regular { p }. Coxeter también le asigna un símbolo , ya sea como un hipercubo generalizado unidimensional o como un politopo cruzado. Su simetría - o ${\ estilo de visualización \ gamma _ {1} ^ {p}}$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {1} ^ {p}}$ ${\ estilo de visualización {_ {p}} []}$ , un grupo cíclico de orden p . En poliedros de orden superior, o ${\ estilo de visualización {_ {p}} \ {\}}$ representa un elemento del borde p . Entonces, 2 aristas, {} orepresenta una arista ordinaria entre dos vértices [20] .

El politopo complejo dual se construye intercambiando los elementos k - ésimo y ( n -1- k )-ésimo del politopo n . Por ejemplo, el polígono complejo dual tiene vértices en el medio de cada borde y los nuevos bordes están centrados en los vértices antiguos. El vértice v -valent crea un nuevo v -borde, y el e -borde se convierte en un vértice e -valente [21] . El politopo dual de un politopo complejo regular tiene un símbolo inverso (es decir, escrito en orden inverso). Los poliedros complejos regulares que tienen símbolos simétricos, es decir , , , etc., son autoduales . ${_{p}}\{q\}{_{p}}$ ${_{p}}\{q\}{_{r}}\{q\}{_{p}}$ ${_{p}}\{q\}{_{r}}\{s\}{_{r}}\{q\}{_{p}}$

Enumeración de politopos complejos regulares

Coxeter enumeró politopos complejos regulares no estrellados en el espacio , incluidos 5 politopos regulares en [22] . ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$ $\mathbb{R} ^{3}$

Poliedro complejo regular o ${_{p}}\{n_{1}\}{_{q}}\{n_{2}\}{_{r}}$ , Tieneborde,costillas y figuras superiores .

Un politopo regular complejo requiere que tanto g 1 = order( ) como g 2 = order( ) sean finitos. ${_{p}}\{n_{1}\}{_{q}}\{n_{2}\}{_{r}}$ ${_{p}}[n_{1}]_{q}$ ${_{q}}[n_{2}]{_{r}}$

Si g = orden( ), el número de vértices es g / g 2 y el número de caras es . El número de aristas es g / pr . ${_{p}}[n_{1}]{_{q}}[n_{2}]{_{r}}$ $g/g_{1}$

Espacio _	Grupo	Ordenar	numero coxeter	Polígono	picos	costillas		caras		figura de vértice	Polígono baño ossa	notas
$\mathbb{R} ^{3}$	G(1,1,3) = [3,3] ${\ estilo de visualización {_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}}$	24	cuatro	$\alpha _{3}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ = {3,3}	cuatro	6	{}	cuatro	{3}	{3}	—	Tetraedro real Igual que
$\mathbb{R} ^{3}$	G23 = [3,5] ${\ estilo de visualización {_{2}}[3]{_{2}}[5]{_{2}}}$	120	diez	${_{2}}\{3\}{_{2}}\{5\}{_{2}}=\{3,5\}$	12	treinta	{}	veinte	{3}	{5}	—	icosaedro real
$\mathbb{R} ^{3}$		120	diez	${_{2}}\{5\}{_{2}}\{3\}{_{2}}=\{5,3\}$	veinte	treinta	{}	12	{5}	{3}	—	dodecaedro real
$\mathbb{R} ^{3}$	G(2,1,3) = [3,4] ${\ estilo de visualización {_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}}$	48	6	${\ estilo de visualización \ beta _ {3} ^ {2} = \ beta _ {3} = \ {3,4 \}}$	6	12	{}	ocho	{3}	{cuatro}	{cuatro}	Octaedro real Igual que {}+{}+{}, orden 8 Igual que, pedido 24
$\mathbb{R} ^{3}$		48	6	${\ estilo de visualización \ gamma _ {3} ^ {2} = \ gamma _ {3} = \ {4,3 \}}$	ocho	12	{}	6	{cuatro}	{3}	—	Real Cube Igual que {}×{}×{} o
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	G(p,1,3) 2 [3] 2 [4] pp =2,3,4,…	6p3 _ _	3p _	$\beta _{3}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{p}}$	3p _	${\ estilo de visualización 3p^{2}}$	{}	pág . 3	{3}	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	Octaedro generalizado Igual que , orden p 3 Igual que ${_{p}}\{\}+{_{p}}\{\}+{_{p}}\{\}$ , orden 6 p 2
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	G(p,1,3) 2 [3] 2 [4] pp =2,3,4,…	6p3 _ _	3p _	$\gamma _{3}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	pág . 3	3p2 _ _	pag {}	3p _	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	{3}	—	Cubo generalizado Igual que o ${_{p))\{\}{\times }_{p}\{\}{\times }_{p}\{\}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	G(3,1,3) 2 [3] 2 [4] 3	162	9	$\beta _{3}^{3}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}$	9	27	{}	27	{3}	${\ estilo de visualización {_{2}}\{4\}{_{3}}}$	${\ estilo de visualización {_{2}}\{4\}{_{3}}}$	Igual que , pedido 27 Igual que ${_{3}}\{\}+{_{3}}\{\}+{_{3}}\{\}$ , pedido 54
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	G(3,1,3) 2 [3] 2 [4] 3	162	9	$\gamma _{3}^{3}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	27	27	3 {}	9	3 {4} 2	{3}	—	igual que o ${_{3}}\{\}{\veces }{_{3}}\{\}{\veces }{_{3}}\{\}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	G(4,1,3) ${\ estilo de visualización {_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{4}}}$	384	12	$\beta _{3}^{4}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{4}}$	12	48	{}	64	{3}	${\ estilo de visualización {_{2}}\{4\}{_{4}}}$	${\ estilo de visualización {_{2}}\{4\}{_{4}}}$	Igual que , pedido 64 Igual que ${_{4}}\{\}+{_{4}}\{\}+{_{4}}\{\}$ , pedido 96
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$		384	12	$\gamma _{3}^{4}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	64	48	4 {}	12	${\ estilo de visualización {_{4}}\{4\}{_{2}}}$	{3}	—	igual que o ${_{4}}\{\}{\veces}{_{4}}\{\}{\veces}{_{4}}\{\}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	G(5,1,3) 2 [3] 2 [4] 5	750	quince	$\beta _{3}^{5}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{5}}$	quince	75	{}	125	{3}	${\ estilo de visualización {_{2}}\{4\}{_{5}}}$	${\ estilo de visualización {_{2}}\{4\}{_{5}}}$	Igual que , pide 125 Igual que ${_{5}}\{\}+{_{5}}\{\}+{_{5}}\{\}$ , pedido 150
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	G(5,1,3) 2 [3] 2 [4] 5	750	quince	$\gamma _{3}^{5}={_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	125	75	5 {}	quince	${_{5}}\{4\}{_{2}}$	{3}	—	igual que o ${_{5}}\{\}{\veces }{_{5}}\{\}{\veces }{_{5}}\{\}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	G(6,1,3) 2 [3] 2 [4] 6	1296	Dieciocho	$\beta _{3}^{6}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{6}}$	36	108	{}	216	{3}	2 {4} 6	2 {4} 6	Igual que 6 {}+ 6 {}+ 6 {}, orden 216 Igual que, pedido 216
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	G(6,1,3) 2 [3] 2 [4] 6	1296	Dieciocho	$\gamma _{3}^{6}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	216	108	6 {}	Dieciocho	6 {4} 2	{3}	—	igual que o ${_{6}}\{\}{\veces }{_{6}}\{\}{\veces }{_{6}}\{\}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	G 25 3 [3] 3 [3] 3	648	9	3 {3} 3 {3} 3	27	72	3 {}	27	3 {3} 3	3 {3} 3	3 {4} 2	Igual que. representación como 2 21 Poliedro hessiano ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {6}}$
	G 26 2 [4] 3 [3] 3	1296	Dieciocho	2 {4} 3 {3} 3	54	216	{}	72	2 {4} 3	3 {3} 3	{6}
	G 26 2 [4] 3 [3] 3	1296	Dieciocho	3 {3} 3 {4} 2	72	216	3 {}	54	3 {3} 3	3 {4} 2	3 {4} 3	Igual que ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {6}}$ representación como 1 22

Visualización de poliedros complejos regulares Proyecciones ortogonales 2D de poliedros complejos, p { s } t { r } r

reales {3,3} ,o,
tiene 4 vértices, 6 aristas y 4 caras
3 {3} 3 {3} 3 ,o,
tiene 27 vértices, 72 3 aristas y 27 caras, una cara está resaltada en azul [23] .
2 {4} 3 {3} 3 ,,
tiene 54 vértices, 216 aristas simples y 72 caras, una cara está resaltada en azul [24] /
3 {3} 3 {4} 2 ,o,
tiene 72 vértices, 216 3 aristas y 54 vértices, una cara está resaltada en azul [25] .

octaedros generalizados

Los octaedros generalizados tienen una construcción como formas regulares.y como especies cuasiregulares. Todos los elementos son simples .

reales {3,4} ,o, 6 vértices, 12 aristas y 8 caras
2 {3} 2 {4} 3 ,o, 9 vértices, 27 aristas y 27 caras
2 {3} 2 {4} 4 ,o, 12 vértices, 48 aristas y 64 caras
2 {3} 2 {4} 5 ,o, 15 vértices, 75 aristas y 125 caras
2 {3} 2 {4} 6 ,o, 18 vértices, 108 aristas y 216 caras
2 {3} 2 {4} 7 ,o, 21 vértices, 147 aristas y 343 caras
2 {3} 2 {4} 8 ,o, 24 vértices, 192 aristas y 512 caras
2 {3} 2 {4} 9 ,o, 27 vértices, 243 aristas y 729 caras
2 {3} 2 {4} 10 ,o, 30 vértices, 300 aristas y 1000 caras

cubos generalizados

Los cubos generalizados se construyen como formas regulares.y que prismatico, el producto de tres p -gonal 1-poliedros. Los elementos son cubos generalizados de menor dimensión.

reales {4,3} ,o,
tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras
3 {4} 2 {3} 2 ,o,
tiene 27 vértices, 27 3 aristas y 9 caras [23]
4 {4} 2 {3} 2 ,o, tiene 64 vértices, 48 aristas y 12 caras
5 {4} 2 {3} 2 ,o, tiene 125 vértices, 75 aristas y 15 caras
6 {4} 2 {3} 2 ,o, tiene 216 vértices, 108 aristas y 18 caras
7 {4} 2 {3} 2 ,o, tiene 343 vértices, 147 aristas y 21 caras
8 {4} 2 {3} 2 ,o, tiene 512 vértices, 192 aristas y 24 caras
9 {4} 2 {3} 2 ,o, tiene 729 vértices, 243 aristas y 27 caras
10 {4} 2 {3} 2 ,o, tiene 1000 vértices, 300 aristas y 30 caras

Enumeración de 4-politopos complejos regulares

Coxeter enumeró 4 politopos complejos regulares no estrellados en , incluidos 6 4 politopos regulares convexos en [26] . ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$

Espacio _	Grupo	Ordenar	numero coxeter	Poliedro	picos	costillas	facetas	células	Polígono de Van Oss	notas
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$	G(1,1,4) = [3,3,3] ${\ estilo de visualización {_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}}$	120	5	$\alpha _{4}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ = {3,3,3}	5	10 {}	10 {3}	5 {3,3}	—	Cinco celdas reales (simple)
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$	G28 = [3,4,3 ] ${\ estilo de visualización {_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}}$	1152	12	${_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}=\{3,4,3 \}$	24	96 {}	96 {3}	24 {3,4}	{6}	Veinticuatro celdas reales
	G30 = [3,3,5] ${\ estilo de visualización {_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[5]{_{2}}}$	14400	treinta	${_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{5\}{_{2}}=\{3,3,5 \}$	120	720 {}	1200 {3}	600 {3,3}	{diez}	600 celdas reales
		14400	treinta	${_{2}}\{5\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}=\{5,3,3 \}$	600	1200 {}	720 {5}	120 {5,3}	{diez}	120 celdas reales
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$	G(2,1,4) =[3,3,4] ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{p}}$	384	ocho	${\ estilo de visualización \ beta _ {4} ^ {2} = \ beta _ {4} = \ {3,3,4 \}}$	ocho	24 _	32 {3}	16 {3,3}	{cuatro}	Celda hexadecimal real Igual que, pedido 192
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$	G(2,1,4) =[3,3,4] ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{p}}$	384	ocho	${\ estilo de visualización \ gamma _ {4} ^ {2} = \ gamma _ {4} = \ {4,3,3 \}}$	dieciséis	32 {}	24 {4}	8 {4,3}	—	Teseracto real Igual que {} 4 o, pedido 16
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	G(p,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] p p=2,3,4,…	24p4 _ _	4p _	$\beta _{4}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{ pags}}$	4p _	6 págs . 2 {}	4 págs . 3 {3}	pág . 4 {3,3}	2 {4} p	Generalizado 4 - orthoplex Igual que, pedido 24 p 3
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	G(p,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] p p=2,3,4,…	24p4 _ _	4p _	$\gamma _{4}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}$	p4_ _	4 pags 3 pags {}	6 pags 2 pags {4} 2	4p _ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Teseracto generalizado Igual que p {} 4 o, orden p 4
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	G(3,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 3	1944	12	$\beta _{4}^{3}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{ 3}}$	12	54 {}	108 {3}	81 {3,3}	2 {4} 3	Generalizado 4 - orthoplex Igual que, pedido 648
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	G(3,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 3	1944	12	$\gamma _{4}^{3}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}$	81	108 3 _	54 3 {4} 2	12 3 {4} 2 {3} 2	—	Igual que 3 {} 4 o, pedido 81
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	G(4,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	6144	dieciséis	$\beta _{4}^{4}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{ cuatro}}$	dieciséis	96 {}	256 {3}	64 {3,3}	${\ estilo de visualización {_{2}}\{4\}{_{4}}}$	Igual que, orden 1536
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	G(4,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	6144	dieciséis	$\gamma _{4}^{4}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}$	256	256 4 {}	96 4 {4} 2	16 4 {4} 2 {3} 2	—	Igual que 4 {} 4 o, pedido 256
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	G(5,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	15000	veinte	$\beta _{4}^{5}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{ 5}}$	veinte	150 _	500 {3}	625 {3,3}	2 {4} 5	Igual que, pide 3000
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	G(5,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	15000	veinte	$\gamma _{4}^{5}={_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}$	625	500 5 {}	150 5 {4} 2	veinte ${_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Igual que 5 {} 4 o, pedido 625
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	G(6,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	31104	24	$\beta _{4}^{6}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{ 6}}$	24	216 {}	864 {3}	1296 {3,3}	${_{2}}\{4\}{_{6}}$	Igual que, pedido 5184
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	G(6,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	31104	24	$\gamma _{4}^{6}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}$	1296	864 6 {}	216 6 {4} 2	24 ${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Igual que 6 {} 4 o, orden 1296
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	G 32 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3	155520	treinta	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	240	2160 3 {}	2160 3 {3} 3	240 3 {3} 3 {3} 3	3 {4} 3	Witting poliedro representación como 4 21 ${\ matemáticas {R}}^{8}$

Visualización de 4-politopos complejos regulares

reales {3,3,3} ,, tiene 5 vértices, 10 aristas, 10 {3} caras y 5 {3,3} celdas
{3,4,3} reales ,, tiene 24 vértices, 96 aristas, 96 {3} caras y 24 {3,4} celdas
reales {5,3,3} ,, tiene 600 vértices, 1200 aristas, 720 {5} caras y 120 {5,3} celdas
reales {3,3,5} ,, tiene 120 vértices, 720 aristas, 1200 {3} caras y 600 {3,3} celdas
Witting poliedro ,,
tiene 240 vértices, 2160 3 aristas, 2160 3{3}3 caras y 240 3{3}3{3}3 celdas

4-Orthoplexes generalizados

Los 4-orthoplexes generalizados tienen la construcción como vistas regularesy tipos cuasiregulares como. Todos los elementos son simples .

reales {3,3,4} ,o,
con 8 vértices, 24 aristas, 32 caras y 16 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 ,o,
con 12 vértices, 54 aristas, 108 caras y 81 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 ,o,
con 16 vértices, 96 aristas, 256 aristas y 256 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 ,o,
con 20 vértices, 150 aristas, 500 caras y 625 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 ,o,
con 24 vértices, 216 aristas, 864 caras y 1296 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 ,o,
con 28 vértices, 294 aristas, 1372 caras y 2401 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 ,o,
con 32 vértices, 384 aristas, 2048 caras y 4096 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 9 ,o,
con 36 vértices, 486 aristas, 2916 caras y 6561 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 10 ,o,
con 40 vértices, 600 aristas, 4000 caras y 10000 celdas

4 cubos generalizados

Los teseractos generalizados se construyen como formas regulares.y como vistas prismáticas, el producto de cuatro p -gonal 1-poliedros. Los elementos son cubos generalizados de menor dimensión.

reales {4,3,3} ,o, 16 vértices, 32 aristas, 24 caras y 8 celdas
${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,o,
81 vértices, 108 aristas, 54 caras y 12 celdas
${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,o,
256 vértices, 96 aristas, 96 caras y 16 celdas
${_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,o,
625 vértices, 500 aristas, 150 caras y 20 celdas
${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,o,
1296 vértices, 864 aristas, 216 caras y 24 celdas
${_{7}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,o,
2401 vértices, 1372 aristas, 294 caras y 28 celdas
${_{8}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,o,
4096 vértices, 2048 aristas, 384 caras y 32 celdas
${_{9}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,o,
6561 vértices, 2916 aristas, 486 caras y 36 celdas
${_{1}0}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,o,
10000 vértices, 4000 aristas, 600 caras y 40 celdas

Enumeración de 5-politopos complejos regulares

Los 5-politopos complejos regulares en dimensiones y superiores existen en tres familias, simples reales , hipercubos generalizados y ortoplexos . ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$

Espacio _	Grupo	Ordenar	Poliedro	picos	costillas	facetas	células	4 caras	polígono de van oss	notas
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {5}}$	G(1,1,5) = [3,3,3,3]	720	α 5 = {3,3,3,3}	6	15 {}	20 {3}	15 {3,3}	6 {3,3,3}	—	Real regular 5-simple
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {5}}$	G(2,1,5) =[3,3,3,4]	3840	${\displaystyle \beta _{5}^{2}=\beta _{5}=\{3,3,3,4\))$	diez	40 {}	80 {3}	80 {3,3}	32 {3,3,3}	{cuatro}	Real 5-orthoplex Igual que, orden 1920
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {5}}$	G(2,1,5) =[3,3,3,4]	3840	${\ estilo de visualización \ gamma _ {5} ^ {2} = \ gamma _ {5} = \ {4,3,3,3 \}}$	32	80 _	80 {4}	40 {4,3}	10 {4,3,3}	—	Pentaract real Igual que {} 5 o, pedido 32
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$	G(p,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] p	120p5 _ _	$\beta _{5}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{4\}{_{p}}}$	5p _	10p2 { } _	10 págs . 3 {3}	5 p 4 {3,3}	pág . 5 {3,3,3}	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	5-orthoplex generalizado Igual que, pedir 120 p 4
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$	G(p,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] p	120p5 _ _	$\gamma _{5}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$	p5 _	5 pag 4 pag {}	10p3 _ _ ${_{p}}\{4\}{_{2}}$	10p2 _ _ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	5p _ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Penteract generalizado Igual que p {} 5 o, orden p 5
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$	G(3,1,5) ${\ estilo de visualización {_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}}$	29160	$\beta _{5}^{3}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{4\}{_{3}}$	quince	90 _	270 {3}	405 {3,3}	243 {3,3,3}	2 {4} 3	Igual que, pedido 9720
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$		29160	$\gamma _{5}^{3}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$	243	405 3 {}	270 ${\ estilo de visualización {_{3}}\{4\}{_{2}}}$	90 ${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	quince ${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Igual que 3 {} 5 o, pedido 243
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$	G(4,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	122880	$\beta _{5}^{4}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{4\}{_{4}}$	veinte	160 _	640 {3}	1280 {3,3}	1024 {3,3,3}	2 {4} 4	Igual que, pedido 30720
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$	G(4,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	122880	$\gamma _{5}^{4}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$	1024	1280 4 {}	640 4 {4} 2	160 ${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	veinte ${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Igual que 4 {} 5 o, pedido 1024
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$	G(5,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	375000	$\beta _{5}^{5}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{5\}{_{5}}$	25	250 {}	1250 {3}	3125 {3,3}	3125 {3,3,3}	2 {5} 5	Igual que, pedido 75000
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$	G(5,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	375000	$\gamma _{5}^{5}={_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$	3125	3125 5 {}	1250 ${_{5}}\{5\}{_{2}}$	250 ${_{5}}\{5\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	25 ${_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Igual que 5 {} 5 o, pedido 3125
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$	G(6,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	933210	$\beta _{5}^{6}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{4\}{_{6}}$	treinta	360 {}	2160 {3}	6480 {3,3}	7776 {3,3,3}	${_{2}}\{4\}{_{6}}$	Igual que, pedido 155520
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$	G(6,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	933210	$\gamma _{5}^{6}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$	7776	6480 6 {}	2160 ${_{6}}\{4\}{_{2}}$	360 ${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	treinta ${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Igual que 6 {} 5 o, pedido 7776

Visualización de 5-politopos complejos regulares 5-orthoplexes generalizados

Los 5-orthoplexes generalizados tienen la construcción como formas regularesy cuán cuasi-correcto. Todos los elementos son simples .

reales {3,3,3,4} ,,
10 vértices, 40 aristas,
80 caras, 80 celdas y 32 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 ,,
15 vértices, 90 aristas,
270 caras, 405 celdas y 243 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 ,,
20 vértices, 160 aristas,
640 caras, 1280 celdas y 1024 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 ,,
25 vértices, 250 aristas,
1250 caras, 3125 celdas y 3125 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 ,,
30 vértices, 360 aristas,
2160 caras, 6480 celdas, 7776 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 ,,
35 vértices, 490 aristas,
3430 caras, 12005 celdas, 16807 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 ,,
40 vértices, 640 aristas,
5120 caras, 20480 celdas, 32768 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 9 ,,
45 vértices, 810 aristas, 7290 caras, 32805 celdas, 59049 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 10 ,,
50 vértices, 1000 aristas,
10000 caras, 50000 celdas, 100000 4 caras

penteracts generalizados

Los penteracts generalizados tienen la construcción como formas regulares.y que prismatico, el producto de cinco p -gonal 1-poliedros. Los elementos son cubos generalizados de menor dimensión.

reales {4,3,3,3} ,,
32 vértices, 80 aristas,
80 caras, 40 celdas y 10 4 caras
3 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,,
243 vértices, 405 aristas, 270 caras, 90 celdas y 15 4 caras
4 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,,
1024 vértices, 1280 aristas,
640 caras, 160 celdas y 20 4 caras
5 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,,
3125 vértices, 3125 aristas,
1250 caras, 250 celdas y 25 4 caras
6 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,,
7776 vértices, 6480 aristas,
2160 caras, 360 celdas y 30 4 caras

Enumeración de 6-poliedros complejos regulares

Espacio _	Grupo	Ordenar	Poliedro	picos	costillas	facetas	células	4 caras	5 caras	polígono de van oss	notas
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {6}}$	G(1,1,6) = [3,3,3,3,3]	720	α6 = { 3,3,3,3,3 }	7	21 _	35 {3}	35 {3,3}	21 {3,3,3}	7 {3,3,3,3}	—	Real 6-simple
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {6}}$	G(2,1,6) [3,3,3,4]	46080	${\displaystyle \beta _{6}^{2}=\beta _{6}=\{3,3,3,4\))$	12	60 _	160 {3}	240 {3,3}	192 {3,3,3}	64 {3,3,3,3}	{cuatro}	Real 6-orthoplex Igual que, pedido 23040
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {6}}$	G(2,1,6) [3,3,3,4]	46080	${\displaystyle \gamma _{6}^{2}=\gamma _{6}=\{4,3,3,3\))$	64	192 _	240 {4}	160 {4,3}	60 {4,3,3}	12 {4,3,3,3}	—	Hexeract real Igual que {} 6 o, pedido 64
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {6}}$	G(p,1,6) ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{p}}$	720p6 _ _	$\beta _{6}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{4\}{_{p}}}$	6p _	15 págs . 2 {}	20 p 3 {3}	15 págs . 4 {3,3}	6 págs . 5 {3,3,3}	pág . 6 {3,3,3,3}	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	6-orthoplex generalizado Igual que, pedido 720 p 5
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {6}}$	G(p,1,6) ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{p}}$	720p6 _ _	$\gamma _{6}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$	p6 _	6 pags 5 pags {}	15 pags 4 pags {4} 2	20p3 _ _ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	15p2 _ _ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	6p _ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}$	—	Hexeract generalizado Igual que p {} 6 o, orden pág 6

Visualización de 6-politopos complejos regulares 6-orthoplexes generalizados

Los 6-orthoplexes generalizados tienen la construcción como formas regularesy como formas cuasi-regulares. Todos los elementos son simples .

reales {3,3,3,3,4} ,,
12 vértices, 60 aristas, 160 caras, 240 celdas, 192 4 caras y 64 5 caras
${_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{4\}{_{3}}$ ,,
18 vértices, 135 aristas, 540 caras, 1215 celdas, 1458 4 caras y 729 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 ,,
24 vértices, 240 aristas, 1280 caras, 3840 celdas, 6144 4 caras y 4096 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 ,,
30 vértices, 375 aristas, 2500 caras, 9375 celdas, 18750 4 caras y 15625 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 ,,
36 vértices, 540 aristas, 4320 caras, 19440 celdas, 46656 4 caras y 46656 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 ,,
42 vértices, 735 aristas, 6860 caras, 36015 celdas, 100842 4 caras, 117649 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 ,,
48 vértices, 960 aristas, 10240 caras, 61440 celdas, 196608 4 caras, 262144 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 9 ,,
54 vértices, 1215 aristas, 14580 caras, 98415 celdas, 354294 4 caras, 531441 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 10 ,,
60 vértices, 1500 aristas, 20000 caras, 150000 celdas, 600000 4 caras, 1000000 5 caras

6-cubos generalizados (hexeracts)

Los 6 cubos generalizados se construyen como formas regulares.y formas prismáticas, el producto de seis p -gonal 1-gons. Los elementos son cubos generalizados de dimensiones más pequeñas.

reales {3,3,3,3,3,4} ,, 64 vértices, 192 aristas, 240 caras, 160 celdas, 60 de 4 caras y 12 de 5 caras
${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$ ,, 729 vértices, 1458 aristas, 1215 caras, 540 celdas, 135 de 4 caras y 18 de 5 caras
${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$ ,, 4096 vértices, 6144 aristas, 3840 caras, 1280 celdas, 240 de 4 caras y 24 de 5 caras
${_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$ ,, 15625 vértices, 18750 aristas, 9375 caras, 2500 celdas, 375 4 caras y 30 5 caras

Enumeración de infinitoedros complejos regulares

Coxeter enumeró infinitos complejos regulares no estelares y panales [27] .

Para cada dimensión, hay 12 infinitos con símbolos que existen en cualquier dimensión , o si p = q =2. Coxeter los llamó panales cúbicos generalizados para n > [28] . ${\ estilo de visualización \ delta _ {n + 1} ^ {p, r}}$ $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{R} ^{n}$

Cada uno tiene un número proporcional de elementos dado por las fórmulas:

k-caras = , donde y n ! significa el factorial del número n .

{n \elegir k}p^{nk}r^{k}

{n \elegir m}={\frac {n!}{m!\,(nm)!}}

1-politopos complejos regulares

El único 1-politopo complejo propio es ∞ {}, o. Su representación real es el apeirogon {∞}, o.

Apeirogons complejos regulares

Los infinitegons complejos de rango 2 tienen simetría p [ q ] r , donde 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Coxeter los expresa como , donde q está limitado por [29] . ${\ estilo de visualización \ delta _ {2} ^ {p, r}}$ ${\ estilo de visualización q = 2/(1-(p+r)/pr)}$

Hay 8 soluciones:

${_{2}}[{\infty}]{_{2}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}[12]{_{2}}}$	${\ estilo de visualización {_{4}}[8]{_{2}}}$	${\ estilo de visualización {_{6}}[6]{_{2}}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}[6]{_{3}}}$	${\ estilo de visualización {_{6}}[4]{_{3}}}$	${\ estilo de visualización {_{4}}[4]{_{4}}}$	${\ estilo de visualización {_{6}}[3]{_{6}}}$

Hay dos soluciones excluidas con q impar y p y r desiguales , estas son y , ${\ estilo de visualización {_{1}0}[5]{_{2))}$ ${\ estilo de visualización {_ {1} 2} [3] {_ {4))}$ o.

Un infinito complejo regular -gon tiene formas de vértice p -arista y q -gonal. El infinito dual del cuerpo es . El infinito-ágono de la forma es autodual. Los grupos de vista tienen la mitad de la simetría , de modo que el infinito ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ ${_{r}}\{q\}{_{p}}$ ${_{p}}\{q\}{_{p}}$ ${_{p}}[2q]{_{2}}$ ${_{p}}[q]{_{p}}$ es lo mismo que el poliedro cuasi-regular[30] .

Los apeirogons se pueden representar en el plano complejo mediante cuatro arreglos diferentes de vértices. Los apeirogons de una especie tienen una disposición de vértices { q /2, p }, los apeirogons de una especie tienen una disposición de vértices r{ p , q /2} y los apeirogons de una especie tienen una disposición de vértices { p , r }. ${_{2}}\{q\}{_{r}}$ ${_{p}}\{q\}{_{2}}$ ${_{p}}\{4\}{_{r}}$

Si los nodos afines están habilitados , se agregan 3 soluciones infinitas más ( ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$ ${_{\infty}}[2]{_{\infty}},{_{\infty}}[4]{_{2}},{_{\infty}}[3]{_ {3}}$ ,y). La primera solución es un subgrupo con índice 2 de la segunda. Los vértices de estos infinitos existen en . ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$

Rango 2

Espacio _	Grupo	Apeirogon	Borde	$\matemáticas {R} ^{2}$ representante [31]	notas
${\ matemáticas {R}}^{1}$	2 [∞] 2 = [∞]	${\ estilo de visualización \ delta _ {2} ^ {2,2} = \ infinito}$	{}		Infinito real Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$ / ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$	∞ [4] 2	∞ {4} 2	∞ {}	{4,4}	Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$	∞ [3] 3	∞ {3} 3	∞ {}	{3,6}	Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$	pag [ q ] r	$\delta _{2}^{p,r}={_{p}}\{q\}{_{r}}$	pag {}
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}[12]{_{2}}}$	$\delta _{2}^{3,2}={_{3}}\{12\}{_{2}}$	3 {}	r{3,6}	Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}[12]{_{2}}}$	$\delta _{2}^{2,3}={_{2}}\{12\}{_{3}}$	{}	{6,3}
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$	3 [6] 3	$\delta _{2}^{3,3}={_{3}}\{6\}{_{3}}$	3 {}	{3,6}	Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$	4 [8] 2	$\delta _{2}^{4,2}={_{4}}\{8\}{_{2}}$	4 {}	{4,4}	Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$	4 [8] 2	$\delta _{2}^{2,4}={_{2}}\{8\}{_{4}}$	{}	{4,4}
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$	4 [4] 4	$\delta _{2}^{4,4}={_{4}}\{4\}{_{4}}$	4 {}	{4,4}	Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$	6 [6] 2	$\delta _{2}^{6,2}={_{6}}\{6\}{_{2}}$	6 {}	r{3,6}	Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$	6 [6] 2	$\delta _{2}^{2,6}={_{2}}\{6\}{_{6}}$	{}	{3,6}
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$	6 [4] 3	$\delta _{2}^{6,3}={_{6}}\{4\}{_{3}}$	6 {}	{6,3}
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$	6 [4] 3	$\delta _{2}^{3,6}={_{3}}\{4\}{_{6}}$	3 {}	{3,6}
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1}}$	6 [3] 6	$\delta _{2}^{6,6}={_{6}}\{3\}{_{6}}$	6 {}	{3,6}	Igual que

Infinitos complejos regulares (espacio tridimensional)

Hay 22 infinitos complejos regulares de la forma . 8 cuerpos son autoduales ( p = r y a = b ), mientras que 14 existen como pares duales de poliedros. Tres de ellos son completamente reales ( p = q = r = 2). ${_{p}}\{a\}{_{q}}\{b\}{_{r}}$

Coxeter dio a doce de ellos los símbolos (o ) y son las formas correctas del producto de infinitos o , donde q se calcula a partir de p y r . ${\ estilo de visualización \ delta _ {3} ^ {p, r}}$ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{4\}{_{r}}$ ${\displaystyle \delta _{2}^{p,r}{\times}\delta _{2}^{p,r))$ ${_{p}}\{q\}{_{r}}{\veces }{_{p}}\{q\}{_{r}}$

poliedros es lo mismo que, tanto comopara p , r = 2,3,4,6. También,=[32] .

Rango 3

Espacio _	Grupo	borde infinito	picos	costillas		facetas		Van Oss infinito -edro	notas
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	2 [3] 2 [4] ∞	∞ {4} 2 {3} 2			∞ {}		∞ {4} 2		Igual que ∞ {}× ∞ {}× ∞ {} o Representación real {4,3,4}
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$	pag [4] 2 [4] r	pag {4} 2 {4} r	p2_ _	2pq _	pag {}	r2 _	pag {4} 2	2 { q } r	Igual que, pag , r = 2,3,4,6
$\matemáticas {R} ^{2}$	[4,4]	${\ estilo de visualización \ delta _ {3} ^ {2,2} = \ {4,4 \}}$	cuatro	ocho	{}	cuatro	{cuatro}	{∞}	Azulejos cuadrados reales Igual queoo
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$	3 [4] 2 [4] 2 3 [4] 2 [4] 3 4 [4] 2 [4] 2 4 [4] 2 [4] 4 6 [4] 2 [4] 2 6 [4] 2 [4] 3 6 [4] 2 [4] 6	3 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 3 3 {4} 2 {4} 3 4 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 4 4 {4} 2 {4} 4 6 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 6 6 {4} 2 {4} 3 3 {4} 2 {4} 6 6 {4} 2 {4} 6	9 4 9 16 4 16 36 4 36 9 36	12 12 18 16 16 32 24 24 36 36 72	3 {} {} 3 {} 4 {} {} 4 {} 6 {} {} 6 {} 3 {} 6 {}	4 9 9 4 16 16 4 36 9 36 36	3 {4} 2 {4} 3 {4} 2 4 {4} 2 {4} 4 {4} 2 6 {4} 2 {4} 6 {4} 2 3 {4} 2 6 {4} 2	p { q } r	Igual queoo Igual que Igual que Igual queoo Igual que Igual que Igual queoo Igual que Igual que Igual que Igual que

Espacio _	Grupo	infinitoedro	picos	costillas		facetas		polígono de van oss	notas
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$	2 [4] r [4] 2	2 {4} r {4} 2	2		{}	2	pag {4} 2'	2 {4} r	Igual quey, r = 2,3,4,6
$\matemáticas {R} ^{2}$	[4,4]	{4,4}	2	cuatro	{}	2	{cuatro}	{∞}	Igual quey
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$	${\ estilo de visualización {_{2}}[4]{_{3}}[4]{_{2}}}$ ${\ estilo de visualización {_{2}}[4]{_{4}}[4]{_{2}}}$ ${\ estilo de visualización {_{2}}[4]{_{6}}[4]{_{2}}}$	${_{2}}\{4\}{_{3}}\{4\}{_{2}}$ ${_{2}}\{4\}{_{4}}\{4\}{_{2}}$ ${_{2}}\{4\}{_{6}}\{4\}{_{2}}$	2	9 16 36	{}	2	${\ estilo de visualización {_{2}}\{4\}{_{3}}}$ ${\ estilo de visualización {_{2}}\{4\}{_{4}}}$ ${_{2}}\{4\}{_{6}}$	${_{2}}\{q\}{_{r}}$	Igual quey Igual quey Igual quey[33]

Espacio _	Grupo	Poliedro	picos	costillas		facetas		van oss infinito -gon	notas
$\matemáticas {R} ^{2}$	2 [6] 2 [3] 2 = [6,3]	{3,6}	una	3	{}	2	{3}	{∞}	Azulejos triangulares reales
$\matemáticas {R} ^{2}$	2 [6] 2 [3] 2 = [6,3]	{6,3}	2	3	{}	una	{6}	—	Azulejos hexagonales reales
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$	3 [4] 3 [3] 3	3 {3} 3 {4} 3	una	ocho	3 {}	3	3 {3} 3	3 {4} 6	Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$	3 [4] 3 [3] 3	3 {4} 3 {3} 3	3	ocho	3 {}	2	3 {4} 3	3 {12} 2
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$	4 [3] 4 [3] 4	4 {3} 4 {3} 4	una	6	4 {}	una	4 {3} 4	4 {4} 4	Auto-dual, igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$	4 [3] 4 [4] 2	4 {3} 4 {4} 2	una	12	4 {}	3	4 {3} 4	2 {8} 4	Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$	4 [3] 4 [4] 2	2 {4} 4 {3} 4	3	12	{}	una	2 {4} 4	4 {4} 4

Regular complejo 3-infinito-topes

Hay 16 infinitos complejos regulares en . Coxeter dio a doce de ellos los símbolos , donde q se limita a la expresión . Se pueden descomponer en el producto de infinitos: ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ delta _ {3} ^ {p, r}}$ ${\ estilo de visualización q = 2/(1-(p+r)/pr)}$ =. En el primer caso, tenemos panales cúbicos en . $\mathbb{R} ^{3}$

Rango 4

Espacio _	Grupo	3-infinito-edro	costillas	facetas	células	Van Oss gonos infinitos	notas
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	pag [4] 2 [3] 2 [4] r	$\delta _{3}^{p,r}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _ {r}}$	pag {}	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{q\}{_{r}}$	Igual que
$\mathbb{R} ^{3}$	2 [4] 2 [3] 2 [4] 2 =[4,3,4]	$\delta _{3}^{2,2}={_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _ {2}}$	{}	{cuatro}	{4,3}		Panales cúbicos Igual queoo
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}}$	$\delta _{3}^{3,2}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _ {2}}$	3 {}	3 {4} 2	3 {4} 2 {3} 2		Igual queoo
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$		$\delta _{3}^{2,3}={_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _ {3}}$	{}	{cuatro}	{4,3}		Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}}$	$\delta _{3}^{3,3}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _ {3}}$	${\ estilo de visualización {_ {3}} \ {\}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}\{4\}{_{2}}}$	${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización {_{4}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}}$	$\delta _{3}^{4,2}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _ {2}}$	${\ estilo de visualización {_ {4}} \ {\}}$	${\ estilo de visualización {_{4}}\{4\}{_{2}}}$	${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		Igual queoo
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$		$\delta _{3}^{2,4}={_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _ {cuatro}}$	{}	{cuatro}	{4,3}		Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización {_{4}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{4}}}$	$\delta _{3}^{4,4}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _ {cuatro}}$	4 {}	4 {4} 2	4 {4} 2 {3} 2		Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización {_{6}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}}$	$\delta _{3}^{6,2}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _ {2}}$	${\ estilo de visualización {_ {6}} \ {\}}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		Igual queoo
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$		$\delta _{3}^{2,6}={_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _ {6}}$	{}	{cuatro}	{4,3}		Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización {_{6}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}}$	$\delta _{3}^{6,3}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _ {3}}$	${\ estilo de visualización {_ {6}} \ {\}}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$		$\delta _{3}^{3,6}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _ {6}}$	${\ estilo de visualización {_ {3}} \ {\}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}\{4\}{_{2}}}$	${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	6 [4] 2 [3] 2 [4] 6	$\delta _{3}^{6,6}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _ {6}}$	6 {}	${_{6}}\{4\}{_{2}}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		Igual que

Rango 4, casos excepcionales

Espacio _	Grupo	3-infinito-edro	picos	costillas	facetas	células	van oss infinito -gon	notas
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización {_{2}}[4]{_{3}}[3]{_{3}}[3]{_{3}}}$	${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{4\}{_{2}}$	una	24 ${\ estilo de visualización {_ {3}} \ {\}}$	27 ${\ estilo de visualización {_{3}}\{3\}{_{3}}}$	2 ${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	${_{3}}\{4\}{_{6}}$	Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$		${_{2}}\{4\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	2	27	24 ${\ estilo de visualización {_{2}}\{4\}{_{3}}}$	una ${_{2}}\{4\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	${\ estilo de visualización {_{2}}\{12\}{_{3}}}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización {_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}[3]{_{3}}}$	${_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	una	27	72 ${\ estilo de visualización {_{2}}\{3\}{_{2}}}$	ocho ${_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}$	${_{2}}\{6\}{_{6}}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$		${_{3}}\{3\}{_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	ocho	72 ${\ estilo de visualización {_ {3}} \ {\}}$	27 ${\ estilo de visualización {_{3}}\{3\}{_{3}}}$	una ${_{3}}\{3\}{_{3}}\{4\}{_{2}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}\{6\}{_{3}}}$	Igual queo

Regular complejo 4-infinite-topes

Hay 15 infinitos complejos regulares en . Coxeter dio a doce de ellos los símbolos , donde q se limita a la expresión . Se pueden descomponer en un producto de infinitos: ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$ ${\ estilo de visualización \ delta _ {4} ^ {p, r}}$ ${\ estilo de visualización q = 2/(1-(p+r)/pr)}$ =. En el primer caso, tenemos panales de tesseract como soluciones reales . Panal de 16 celdas y panal de 24 celdas en . La última solución tiene poliedros de Witting como elementos . ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$

Rango 5

Espacio _	Grupo	4-infinito-edro	picos	costillas	facetas	células	4 caras	van oss infinito -gon	notas
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	${_{p}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{r}}$	$\delta _{4}^{p,r}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{ _ {2}}\{4\}{_{r}}$		${\ estilo de visualización {_ {p}} \ {\}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{q\}{_{r}}$	Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$	${_{2}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	${\ estilo de visualización \ delta _ {4} ^ {2,2} = \ {4,3,3,3 \}}$		{}	{cuatro}	{4,3}	{4,3,3}	{∞}	Tesseract honeycomb Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$	${\ estilo de visualización {_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}}$ =[3,4,3,3]	{3,3,4,3}	una	12 {}	32 {3}	24 {3,3}	3 {3,3,4}		Nido de abeja real de 16 celdas Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$		{3,4,3,3}	3	24	32 {3}	12 {3,4}	1 {3,4,3}		Panales reales de 24 celdas Igual queo
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	${_{3}}[3]{_{3}}[3]{_{3}}[3]{_{3}}[3]{_{3}}$	${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{ 3}}$	una	80 ${\ estilo de visualización {_ {3}} \ {\}}$	270 ${\ estilo de visualización {_{3}}\{3\}{_{3}}}$	80 ${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	una ${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	${_{3}}\{4\}{_{6}}$	${\ matemáticas {R}}^{8}$ rendimiento 5 21

Regular complejo 5-tops infinitos y superiores

Solo hay 12 infinitos complejos regulares en y por encima de [34] , que se denotan por , donde q está limitado por . Se pueden descomponer en un producto de n infinitetopos: ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$ ${\ estilo de visualización \ delta _ {n} ^ {p, r}}$ ${\ estilo de visualización q = 2/(1-(p+r)/pr)}$ …=…. En el primer caso, tenemos panales hipercúbicos en . $\mathbb{R} ^{n}$

Rango 6

Espacio _	Grupo	5-infinitos	picos	costillas	facetas	células	4 caras	5 caras	Polígonos de Van Oss	notas
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$	${_{p}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_ {r}}$	$\delta _{5}^{p,r}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{ _ {2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{r}}$		${\ estilo de visualización {_ {p}} \ {\}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}$	${_{p}}\{q\}{_{r}}$	Igual que
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {5}}$	${_{2}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_ {2}}$ =[4,3,3,3,4]	${\ estilo de visualización \ delta _ {5} ^ {2,2} = \ {4,3,3,3,4 \}}$		{}	{cuatro}	{4,3}	{4,3,3}	{4,3,3,3}	{∞}	Panal de 5 cubos Igual que

Polígonos de Van Oss

El polígono de van Oss es un polígono regular en un plano (plano real o plano complejo ) que contiene tanto las aristas como el baricentro de un politopo regular, y que está formado por los elementos del politopo. No todos los poliedros regulares tienen polígonos de van Oss. $\matemáticas {R} ^{2}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$

Por ejemplo, los polígonos de van Oss de un octaedro real son tres cuadrados cuyos planos pasan por el centro del octaedro. Por el contrario, el cubo no tiene polígonos de van Oss, ya que el plano corta dos caras cuadradas en diagonal de arista al centro, por lo que las dos aristas del cubo en el plano resultante no forman un polígono.

Los panales infinitos también tienen polígonos de van Oss . Por ejemplo, el mosaico cuadrado real y el mosaico triangular tienen apeirogons {∞} como polígonos de van Oss [35] .

El polígono de van Oss de un politopo complejo regular de la forma ..., si existe, tiene p -aristas. ${_{p}}\{q\}{_{r}}\{s\}{_{t}}$

Poliedros complejos irregulares

Producto de politopos complejos

Un ejemplo de un producto de poliedros complejos.

Producto complejo de polígonoso , tiene 10 vértices conectados por cinco de 2 aristas y dos de 5 aristas, y se representa como un prisma pentagonal tridimensional . $\{\}{\times}{_{5}}\{\}$	Polígono dual , tiene 7 vértices ubicados en el medio de las aristas originales, conectados por 10 aristas. Su representación real es una bipirámide pentagonal . ${\ estilo de visualización \{\}+{_{5}}\{\}}$

Algunos politopos complejos se pueden representar como un producto directo . Estos productos de poliedros no son estrictamente regulares ya que tienen más de un tipo de faceta, pero algunos pueden presentar simetrías menores de formas regulares si todos los poliedros ortogonales son iguales. Por ejemplo, una obra o ${_{p}}\{\}{\times}{_{p}}\{\}$ dos 1-politopos es lo mismo que un politopo regular o ${_{p}}\{4\}{_{2}}$ . Los productos más generales tienen representaciones reales como duoprismas p - q de 4 dimensiones . El politopo dual de un producto de politopos se puede escribir como una suma y tiene una representación real como una duopirámide p - q de 4 dimensiones . Un poliedro puede tener el doble de simetría que un poliedro complejo regular, o ${_{p}}\{\}{\times}{_{q}}\{\}$ ${_{p}}\{\}+{_{q}}\{\}$ ${_{p}}\{\}+{_{p}}\{\}$ ${_{2}}\{4\}{_{p}}$ .

De manera similar, un politopo complejo se puede construir como un producto triple: o ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$ ${_{p}}\{\}{\veces }{_{p}}\{\}{\veces }{_{p}}\{\}$ - lo mismo que el cubo generalizado regular , o ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ , como una obra o ${_{p}}\{4\}{_{2}}{\veces }{_{p}}\{\}$ [36] .

Poliedros cuasi-regulares

Un polígono casi regular es un truncamiento de un polígono regular. polígono cuasiregularcontiene una alternancia de bordes de polígonos regularesy. Un polígono cuasi-regular tiene p vértices en p-aristas regulares.

Ejemplos de poliedros cuasi-regulares

pag [ q ] r	2 [4] 2	3 [4] 2	4 [4] 2	5 [4] 2	6 [4] 2	7 [4] 2	8 [4] 2	3 [3] 3	3 [4] 3
Derecha	4 2 costillas	9 3 costillas	16 4 costillas	25 5 costillas	36 6 costillas	49 8 costillas	64 8 costillas
cuasi- correcto	= 4+4 2 aristas	6 2 costillas 9 3 costillas	8 2 costillas 16 4 costillas	10 2 costillas 25 5 costillas	12 2 costillas 36 6 costillas	14 2 costillas 49 7 costillas	16 2 costillas 64 8 costillas	=	=
Derecha	4 2 costillas	6 2 costillas	8 2 costillas	10 2 aristas	12 2 costillas	14 2 costillas	16 2 costillas

Apeirogons cuasi-regulares

Hay 7 infinitos complejos cuasi-regulares que alternan las aristas del infinito regular y su dual. Las disposiciones de los vértices de este infinito-ágono tienen representaciones con mosaicos regulares y uniformes del plano euclidiano. La última columna de 6{3}6 contiene infinitos que no solo son autoduales, sino que para ellos el dual coincide consigo mismo con aristas hexagonales superpuestas, de modo que sus formas cuasi-regulares también tienen aristas hexagonales superpuestas y no se puede dibujar con dos colores alternados, como en otras columnas. La simetría de las familias autoduales se puede duplicar, creando así una geometría idéntica, como en las formas regulares:=

${_{p}}[q]{_{r}}$	${\ estilo de visualización {_{4}}[4]{_{4}}}$	${\ estilo de visualización {_{3}}[6]{_{3}}}$	${\ estilo de visualización {_{6}}[3]{_{6}}}$
Derecha o p { q } r
cuasi-correcto	=	=	=
dual adecuado o r { q } p

Polígonos cuasi-regulares

Como en el caso de los politopos reales, un politopo cuasi-regular complejo se puede construir como un truncamiento completo de un politopo regular. Los vértices se forman en el medio de las aristas de un poliedro regular, y las caras de un poliedro regular y sus duales se ubican alternativamente a lo largo de las aristas comunes.

Por ejemplo, un cubo p-generalizado,
tiene p 3 vértices, 3 p 2 aristas y 3 p p -caras cuadradas generalizadas, mientras que un p -octaedro generalizado,
tiene 3 p vértices, 3 p 2 aristas y p 3 caras triangulares. Forma cuasi-regular media del cuboctaedro generalizado p,
tiene 3 p 2 vértices, 3 p 3 aristas y 3 p + p 3 caras.

Además , el truncamiento completo del poliedro hessiano - esto es, una forma casi regular que comparte la geometría de un poliedro complejo regular.

Ejemplos cuasi-correctos

Cubo/octaedro generalizado						poliedro hessiano
	p=2 (reales)	pag=3	pag=4	pag=5	pag=6	poliedro hessiano
cubos generalizados (Correcto)	cubo ,, 8 vértices, 12 2 aristas y 6 caras.	, 27 vértices, 27 3 aristas y 9 caras, una de cadacaras (azul y rojo)	, 64 vértices, 48 4 aristas y 12 caras.	, 125 vértices, 75 5 aristas y 15 caras.	, 216 vértices, 108 de 6 aristas y 18 caras.	, 27 vértices, 72 6 aristas y 27 caras.
Cuboctaedro generalizado (cuasi-correcto)	cuboctaedro , 12 vértices, 24 2 aristas y 6+8 caras.	, 27 vértices, 81 2 aristas y 9+27 caras, unaborde (azul)	, 48 vértices, 192 2 aristas y 12+64 caras, unaborde (azul)	, 75 vértices, 375 2 aristas y 15+125 caras.	, 108 vértices, 648 2 aristas y 18+216 caras.	=, 72 vértices, 216 3 aristas y 54 caras.
octaedro generalizado (Correcto)	Octaedro , 6 vértices, 12 2 aristas y 8 {3} caras.	, 9 vértices, 27 2 aristas y 27 {3} caras.	, 12 vértices, 48 2 aristas y 64 {3} caras.	, 15 vértices, 75 2 aristas y 125 {3} caras.	, 18 vértices, 108 2 aristas y 216 {3} caras.	, 27 vértices, 72 6 aristas y 27 caras.

Otros politopos complejos con reflejos complejos del periodo dos

Se pueden construir otros politopos complejos irregulares utilizando grupos de reflexión complejos, que no producen gráficos lineales de Coxeter. En los gráficos de Coxeter en bucle, Coxeter marca el período, como en el gráficoo símbolo y grupo [37] [38] . Estos politopos complejos no han sido investigados sistemáticamente más allá de unos pocos casos especiales. ${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 1) ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 1] ^ {3))$

Grupoestá determinada por 3 reflexiones complejas, , todas de orden 2: . El período p se puede considerar como una doble rotación en el espacio real . ${\ estilo de visualización R_{1},R_{2},R_{3))$ $R_{1}^{2}=R_{1}^{2}=R_{3}^{2}=(R_{1}R_{2})^{3}=(R_{2} R_{3})^{3}=(R_{3}R_{1})^{3}=(R_{1}R_{2}R_{3}R_{1})^{p}=1$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$

Como en el caso de las construcciones de Wythoff , para politopos generados por reflexiones, el número de vértices de un politopo que tiene un diagrama de Coxeter con un círculo es igual al orden del grupo dividido por el orden del subgrupo en el que se elimina el nodo encerrado en un círculo. . Por ejemplo, el cubo real tiene un diagrama de Coxeter, con simetría octaédrica orden 48 y el subgrupo de simetría diedroorden 6, por lo que el número de vértices del cubo es s 48/6=8. Las facetas se construyen eliminando un nodo, el más alejado del nodo con un círculo, por ejemplopor un cubo. Las formas de vértice se generan eliminando un nodo delimitado y colocando un círculo o círculos en los nodos vecinos,por un cubo.

Coxeter representa estos grupos con los siguientes símbolos. Algunos grupos tienen el mismo orden pero diferente estructura, definiendo la misma disposición de vértices en poliedros complejos, pero diferentes aristas y elementos de mayor dimensión, como en los diagramasycon p ≠3 [39]

Grupos generados por reflexiones complejas

Gráfico de Coxeter	Ordenar	Símbolo o posición en la tabla VII de Shepard o Todd (1954)
, (y),,…	pags norte - 1 norte !, pags ≥ 3	${\displaystyle G(p,p,n),[p],[1~1~1]^{p},[1~1(n-2)^{p}]^{3))$
,	72•6!, 108•9!	Nº 33, 34, , ${\ estilo de visualización [1 ~ 2 ~ 2] ^ {3))$ ${\ estilo de visualización [1 ~ 2 ~ 3] ^ {3))$
, (y), (y)	14•4!, 3•6!, 64•5!	Núm. 24, 27, 29

Coxeter llama a algunos de estos politopos complejos casi regulares , ya que tienen facetas regulares y figuras de vértices. El primero es una variante del politopo cruzado generalizado con menor simetría en . El segundo es un cubo generalizado fraccionario en el que las aristas p se reducen a vértices separados, dejando 2 aristas simples. Tres de ellos están relacionados con un poliedro sesgado regular finito en . ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$

Algunos poliedros complejos casi regulares [40]

Espacio _	Grupo	Ordenar	símbolos de coxeter	picos	costillas	facetas	figura de vértice	notas
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1~1~1^{p}]^{3}}$ p =2,3,4…	${\ estilo de visualización 6p ^ {2}}$	${\ estilo de visualización (1~1~1_{1}^{p})^{3))$	3p _	3p2 _ _	{3}	{ 2p }	El símbolo de Shepard es el mismo que ${\ estilo de visualización (1 ~ 1; 1_ {1}) ^ {p})$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {3} ^ {p} =}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1~1~1^{p}]^{3}}$ p =2,3,4…	${\ estilo de visualización 6p ^ {2}}$	${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 1 ^ {p}) ^ {3}}$	p2_ _		{3}	{6}	símbolo de shepard ${\ estilo de visualización (1_ {1} 1; 1) ^ {p})$ ${\displaystyle 1/p\gamma _{3}^{p))$
$\mathbb{R} ^{3}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 1 ^ {2}] ^ {3))$	24	${\ estilo de visualización (1 ~ 1 ~ 1_ {1} ^ {2}) ^ {3))$	6	12	8 {3}	{cuatro}	Igual que ${\ estilo de visualización \ beta _ {3} ^ {2} =}$ = octaedro real
$\mathbb{R} ^{3}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 1 ^ {2}] ^ {3))$	24	${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 1 ^ {2}) ^ {3}}$	cuatro	6	4 {3}	{3}	1/2 ${\ estilo de visualización \ gamma _ {3} ^ {2} =}$ = = tetraedro real ${\ estilo de visualización \ alfa {_{3))}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 1] ^ {3))$	54	${\ estilo de visualización (1 ~ 1 ~ 1_ {1}) ^ {3}}$	9	27	{3}	{6}	El símbolo de Shepard es el mismo que ${\ estilo de visualización (1 ~ 1; 1_ {1}) ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {3} ^ {3} =}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 1] ^ {3))$	54	${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 1) ^ {3}}$	9	27	{3}	{6}	Símbolo de pastor 1/3 ${\ estilo de visualización (1_ {1} 1; 1) ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {3} ^ {3} = \ beta _ {3} ^ {3}}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 1 ^ {4}] ^ {3))$	96	${\ estilo de visualización (1 ~ 1 ~ 1_ {1} ^ {4}) ^ {3))$	12	48	{3}	{ocho}	El símbolo de Shepard es el mismo que ${\ estilo de visualización (1 ~ 1; 1_ {1}) ^ {4))$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {3} ^ {4} =}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 1 ^ {4}] ^ {3))$	96	${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 1 ^ {4}) ^ {3))$	dieciséis		{3}	{6}	Símbolo de pastor 1/4 ${\ estilo de visualización (1_ {1} 1; 1) ^ {4}}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {3} ^ {4}}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 1 ^ {5}] ^ {3))$	150	${\ estilo de visualización (1 ~ 1 ~ 1_ {1} ^ {5}) ^ {3))$	quince	75	{3}	{diez}	El símbolo de Shepard es el mismo que ${\ estilo de visualización (1 ~ 1; 1_ {1}) ^ {5}}$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {3} ^ {5} =}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 1 ^ {5}] ^ {3))$	150	${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 1 ^ {5}) ^ {3))$	25		{3}	{6}	Símbolo de pastor 1/5 ${\ estilo de visualización (1_ {1} 1; 1) ^ {5}}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {3} ^ {5}}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 1 ^ {6}] ^ {3))$	216	${\ estilo de visualización (1 ~ 1 ~ 1_ {1} ^ {6}) ^ {3))$	Dieciocho	216	{3}	{12}	El símbolo de Shepard es el mismo que ${\ estilo de visualización (1 ~ 1; 1_ {1}) ^ {6}}$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {3} ^ {6} =}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 1 ^ {6}] ^ {3))$	216	${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 1 ^ {6}) ^ {3}}$	36		{3}	{6}	Símbolo de pastor 1/6 ${\ estilo de visualización (1_ {1} 1; 1) ^ {6}}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {3} ^ {6}}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1~1~1^{4}]^{4}}$	336	${\ estilo de visualización (1~1~1{_{1}}^{4})^{4}}$	42	168	112 {3}	{ocho}	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ representación {3,8\|,4} = {3,8} 8
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1~1~1^{4}]^{4}}$	336	${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 1 ^ {4}) ^ {4}}$	56		{3}	{6}
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 1_ {5}] ^ {4}}$	2160	${\ estilo de visualización (1 ~ 1 ~ 1_ {1} ^ {5}) ^ {4))$	216	1080	720 {3}	{diez}	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ actuación ${\displaystyle \{3,10{\mid },4\}=\{3,10\}_{8))$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 1_ {5}] ^ {4}}$		${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 1 ^ {5}) ^ {4}}$	360		{3}	{6}
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1~1~1^{4}]^{5}}$		${\ estilo de visualización (1 ~ 1 ~ 1_ {1} ^ {4}) ^ {5}}$	270	1080	720 {3}	{ocho}	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ actuación $\{3,8{\mid },5\}=\{3,8\}_{10}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1~1~1^{4}]^{5}}$		${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 1 ^ {4}) ^ {5}}$	360		{3}	{6}

Coxeter identificó otros grupos con construcción antiunitaria, como estos tres. El primer grupo fue descubierto y dibujado por McMullen, Peter en 1966 [41]

Algunos otros poliedros complejos casi regulares [40]

Espacio _	Grupo	Ordenar	símbolos de coxeter	picos	costillas	facetas	figura de vértice	notas
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ^ {4} 1 ^ {4}] ^ {(3)))$	336	${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ^ {4} 1 ^ {4}) ^ {(3)))$	56	168	84 {4}	{6}	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ actuación $\{4,6{\mid },3\}=\{4,6\}_{6}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1^{5}1^{4}1^{4}]^{(3)))$	2160	${\ estilo de visualización (1_{1}^{5}1^{4}1^{4})^{(3)))$	216	1080	540 {4}	{diez}	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ actuación $\{4,10{\mid },3\}=\{4,10\}_{6}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$	${\ estilo de visualización [1 ^ {4} 1 ^ {5} 1 ^ {5}] ^ {(3)))$	2160	${\ estilo de visualización (1_{1}^{4}1^{5}1^{5})^{(3)))$	270	1080	432 {5}	{ocho}	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$ actuación $\{5,8{\mid },3\}=\{5,8\}_{6}$

Algunos 4-poliedros complejos [40]

Espacio _	Grupo	Ordenar	símbolos de coxeter	picos	Otros elementos	células	notas
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	${\ estilo de visualización [1~1~2^{p}]^{3}}$ p =2,3,4…	${\ estilo de visualización 24p ^ {3}}$	${\ estilo de visualización (1~1~2_{2}^{p})^{3))$	4p _			Shepard igual que ${\ estilo de visualización (2_ {2} 1; 1) ^ {p})$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {4} ^ {p} =}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	${\ estilo de visualización [1~1~2^{p}]^{3}}$ p =2,3,4…	${\ estilo de visualización 24p ^ {3}}$	${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 2 ^ {p}) ^ {3}}$	$p^{3}$			pastor ${\ estilo de visualización (2 ~ 1; 1_ {1}) ^ {p})$ ${\displaystyle 1/p\gamma _{4}^{p))$
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$	${\ estilo de visualización [1~1~2^{2}]^{3}}$ ${\ estilo de visualización = [3^{1,1,1}]}$	192	${\ estilo de visualización (1~1~2_{2}^{2})^{3}}$	ocho	24 aristas 32 caras	dieciséis	${\ estilo de visualización \ beta _ {4} ^ {2} =}$ , hexadecimal real
${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$		192	${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 2 ^ {2}) ^ {3}}$	ocho	24 aristas 32 caras	dieciséis	1/2 ${\ estilo de visualización \ gamma _ {4} ^ {2} =}$ = , hexadecimal real ${\ estilo de visualización \ beta _ {4} ^ {2}}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 2] ^ {3))$	648	${\ estilo de visualización (1 ~ 1 ~ 2_ {2}) ^ {3))$	12			Shepard igual que ${\ estilo de visualización (2_ {2} 1; 1) ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {4} ^ {3} =}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 2] ^ {3))$	648	${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 2 ^ {3}) ^ {3))$	27			pastor ${\ estilo de visualización (2 ~ 1; 1_ {1}) ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización 1/3 \ gamma _ {4} ^ {3}}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 2 ^ {4}] ^ {3))$	1536	${\ estilo de visualización (1 ~ 1 ~ 2_ {2} ^ {4}) ^ {3))$	dieciséis			Shepard igual que ${\ estilo de visualización (2_ {2} 1; 1) ^ {4}}$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {4} ^ {4} =}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 2 ^ {4}] ^ {3))$	1536	${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 2 ^ {4}) ^ {3))$	64			pastor ${\ estilo de visualización (2 ~ 1; 1_ {1}) ^ {4))$ ${\ estilo de visualización 1/4 \ gamma _ {4} ^ {4}}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	${\ estilo de visualización [1 ^ {4} 1 ~ 2] ^ {3))$	7680	${\ estilo de visualización (2_{2}1^{4}1)^{3))$	80			pastor ${\ estilo de visualización (2_ {2} 1; 1) ^ {4}}$
			${\ estilo de visualización (1_{1}^{4}1~2)^{3}}$	160			pastor ${\ estilo de visualización (2 ~ 1; 1_ {1}) ^ {4))$
			(1 1 1 4 2) 3	320			pastor ${\ estilo de visualización (2 ~ 1_ {1}; 1) ^ {4))$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 2] ^ {4))$		${\ estilo de visualización (1 ~ 1 ~ 2_ {2}) ^ {4))$	80	640 aristas 1280 triángulos	640
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {4}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 1 ~ 2] ^ {4))$		${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 2) ^ {4}}$	320

Algunos 5-poliedros complejos [40]

Espacio _	Grupo	Ordenar	símbolos de coxeter	picos	notas
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$	${\ estilo de visualización [1~1~3^{p}]^{3}}$ p =2,3,4…	120p4 _ _	${\ estilo de visualización (1~1~3_{3}^{p})^{3))$	5p _	Shepard igual que ${\ estilo de visualización (3_ {3} 1; 1) ^ {p})$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {5} ^ {p} =}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$	${\ estilo de visualización [1~1~3^{p}]^{3}}$ p =2,3,4…	120p4 _ _	${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 3 ^ {p}) ^ {3}}$	${\ Displaystyle pag^{4}}$	Shepard 1/ p γ ${\ estilo de visualización (3 ~ 1; 1_ {1}) ^ {p})$ p5 _
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$	${\ estilo de visualización [2 ~ 2 ~ 1] ^ {3))$	51840	${\ estilo de visualización (2 ~ 1 ~ 2_ {2}) ^ {3}}$	80	pastor ${\ estilo de visualización (2 ~ 1; 2_ {2}) ^ {3}}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {5}}$	${\ estilo de visualización [2 ~ 2 ~ 1] ^ {3))$	51840	${\ estilo de visualización (2 ~ 1_ {1} 2) ^ {3}}$	432	pastor ${\ estilo de visualización (2 ~ 1_ {1}; 2) ^ {3}}$

Algunos 6-poliedros complejos [40]

Espacio _	Grupo	Ordenar	símbolos de coxeter	picos	notas
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {6}}$	${\ estilo de visualización [1~1~4^{p}]^{3}}$ p =2,3,4…	${\ estilo de visualización 720p^{5}}$	${\ estilo de visualización (1~1~4_{4}^{p})^{3}}$	6p _	Shepard igual que ${\ estilo de visualización (4_ {4} 1; 1) ^ {p})$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {6} ^ {p} =}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {6}}$	${\ estilo de visualización [1~1~4^{p}]^{3}}$ p =2,3,4…	${\ estilo de visualización 720p^{5}}$	${\ estilo de visualización (1_ {1} 1 ~ 4 ^ {p}) ^ {3}}$	$p^{5}$	pastor ${\ estilo de visualización (41; 1_ {1}) ^ {p})$ ${\displaystyle 1/p\gamma _{6}^{p))$
${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {6}}$	${\ estilo de visualización [1 ~ 2 ~ 3] ^ {3))$	39191040	${\ estilo de visualización (2 ~ 1 ~ 3_ {3}) ^ {3))$	756	pastor ${\ estilo de visualización (2 ~ 1; 3_ {3}) ^ {3))$
			${\ estilo de visualización (2_ {2} 13) ^ {3}}$	4032	pastor ${\ estilo de visualización (2_ {2} 1; 3) ^ {3}}$
			${\ estilo de visualización (2 ~ 1_ {1} 3) ^ {3}}$	54432	pastor ${\ estilo de visualización (2 ~ 1_ {1}; 3) ^ {3}}$

Visualización

${\ estilo de visualización (1 ~ 1 ~ 1_ {1} ^ {4}) ^ {4))$ ,,
tiene 42 vértices, 168 aristas y 112 caras triangulares que son visibles en esta proyección de 14 ángulos.
${\ estilo de visualización (1 ^ {4} 1 ^ {4} 1_ {1}) ^ {(3)))$ ,,
tiene 56 vértices, 168 aristas y 84 caras cuadradas, que son visibles en esta proyección de 14 ángulos.
${\ estilo de visualización (1 ~ 1 ~ 2_ {2}) ^ {4))$ ,,
tiene 80 vértices, 640 aristas, 1280 caras triangulares y 640 celdas tetraédricas que son visibles en esta proyección de 20 ángulos [42] .

Notas

↑ Orlik, Reiner, Shepler, 2002 , pág. 477–492.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 115.
↑ Coxeter, 1991 , 11.3 Petrie Polygon , un h - gon simple formado por la órbita de la bandera ( ) para el producto de dos reflexiones generadoras de cualquier polígono complejo regular no estelar, . ${\displaystyle O_{0},O_{0}O_{1))$ $p_{1}\{q\}p_{2}$
↑ Coxeter, 1991 , 11.1 Polígonos complejos regulares , p. 103.
↑ Shepard 1952; “De las convenciones que usamos para definir el concepto de interior de un poliedro, vemos que en un espacio unitario, donde los números no se pueden ordenar, no se puede definir el concepto de interior.
Por lo tanto... deberíamos considerar los poliedros unitarios como configuraciones".
↑ Coxeter, 1957 , pág. 96.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 177, Cuadro III.
↑ Coxeter, 1957 , pág. xiv.
↑ Lehrer, Taylor, 2009 , pág. 87.
↑ Coxeter, 1957 , Tabla IV. Los polígonos regulares, pág. 178-179.
↑ 1 2 Coxeter, 1957 , pág. 108.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 109.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 111.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 30, esquema y pág. 47 índices para 8 de 3 aristas.
↑ 1 2 Coxeter, 1957 , pág. 110.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 48.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 49.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 116–140.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 118–119.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 118-119.
↑ Coxeter, 1991 , pág. 29
↑ Coxeter, 1957 , Tabla V. Los poliedros regulares no estrellados y los 4 politopos, p. 180.
↑ 1 2 Coxeter, 1957 , pág. 131.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 126.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 125.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 180.
↑ Coxeter, 1991 , Tabla VI. Los panales regulares, pág. 180.
↑ Coxeter, 1991 , pág. 174.
↑ Coxeter, 1991 , Tabla VI. Los panales regulares, pág. 111, 136.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 178–179.
↑ Coxeter, 1991 , pág. 111-112, 11.6 Apeirogons.
↑ Coxeter, 1991 , pág. 140.
↑ Coxeter, 1957 , pág. 139-140.
↑ Coxeter, 1991 , pág. 146.
↑ Coxeter, 1991 , pág. 141.
↑ Coxeter, 1991 , pág. 118-119, 138.
↑ Coxeter, 1991 , Capítulo 14, Politopos casi regulares , p. 156–174.
↑ Coxeter, 1957 .
↑ Coxeter, 1966 , pág. 422-423.
↑ 1 2 3 4 5 Coxeter, 1957 , pág. 271, Tabla III: Algunos politopos complejos.
↑ Coxeter, 1991 , 14.6 Los dos poliedros de McMullen con 84 caras cuadradas, p. 166-171.
↑ Coxeter, 1991 , pág. 172-173.

Literatura

Coxeter HSM Grupos generados por reflexiones unitarias del período dos // Canadá. J. Math.. - 1957. - Edición. 9 _ - S. 243-272 .
Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter / comp. F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivić Weiss. - Wiley-Interscience, 1995. - V. 19. - (Wiley-Interscience and Canadian Mathematics Series of Monographs and Texts). — ISBN 0471010030 .
coxeter _ Grupos finitos generados por reflexiones unitarias // La notación gráfica. - 1966. - Emisión. 4 . - S. 422-423 .
Politopos complejos regulares HSM de Coxeter . — 2do. - Prensa de la Universidad de Cambridge, 1991. - ISBN 978-0-521-39490-1 .
Peter Orlik, Víctor Reiner, Anne V. Shepler. La representación de signos para los grupos de Shephard // Mathematische Annalen. - 2002. - marzo ( vol. 322 , número 3 ). — S. 477–492 . -doi : 10.1007/ s002080200001 .
Coxeter, HSM , Moser WOJ Generadores y relaciones para grupos discretos. - Nueva York: Springer-Verlag, 1980. - S. 67-80. - ISBN 0-387-09212-9 .
Coxeter, HSM , Shephard, GC Retratos de una familia de politopos complejos // Leonardo. - 1992. - T. 25 , núm. 3/4 . — S. 239–244 .
Shephard GC Politopos complejos regulares // Proc. Matemáticas de Londres. Soc.. - 1952. - T. 2 . — S. 82–97 .
Shephard GC, Todd JA Grupos de reflexión unitarios finitos // Canadian Journal of Mathematics. - 1954. - Emisión. 6 _ - S. 274-304 . (enlace no disponible)
Gustav I. Lehrer, Donald E. Taylor. Grupos Unitarios de Reflexión. — Prensa de la Universidad de Cambridge, 2009.

Lectura para leer más

Peter Mc Mullen, Egon Schulte. Capítulo 9 Grupos Unitarios y Formas Hermitianas // Politopos Regulares Abstractos . — 1er. - Prensa de la Universidad de Cambridge , 2002. - ISBN 0-521-81496-0 .