Derivada convectiva

La derivada convectiva de una función vectorial o escalar en un punto en el tiempo t determina el cambio en los parámetros de esta función en el tiempo t durante la convección (medio moviéndose a cierta velocidad ). Es uno de los términos de la derivada de Lagrange ( derivada sustancial ) y se puede encontrar por la acción de un operador sobre una función escalar o vectorial (aquí , el operador nabla ). ${\ vec {r))$ ${\ vec {r))$ ${\ estilo de visualización {\ vec {u}} ({\ vec {r}}, t)}$ ${\ estilo de visualización ({\ vec {u}} \ cdot \ nabla)}$ $\nabla$

En general, la derivada material tiene la forma:

{\frac {{\mathcal {D}}\mathbf {A} }{{\mathcal {D}}t}}={\frac {D\mathbf {A} }{Dt}}-\left (\mathbf {A} \cdot \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\right)-\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\cdot \mathbf { A} \right)+\alpha _{1}\left(\operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\cdot \mathbf {A} \right)+\alpha_{ 2}\left(\mathbf {A} \cdot \operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\right)+\alpha _{3}\cdot \mathbf {A} \ cdot \operatorname {Tr} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)

o en una entrada de índice:

{\frac {{\mathcal {D}}A_{ij}}{{\mathcal {D}}t}}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\ cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}+\alpha _{1}\cdot v_{(i,k)}\cdot A_{kj}+\alpha _{2} \cdot A_{ik}\cdot v_{(k,j)}+\alpha _{3}\cdot {A}_{ij}\cdot v_{k,k}

donde está la derivada habitual de Lagrange; ${\frac {DA_{ij}}{Dt}}={\frac {\parcial A_{ij}}{\parcial t}}+v_{k}\cdot {\frac {\parcial A_{ij }}{\parcial x_{k}}}$

\nabla \otimes \mathbf {v}

o son derivadas con respecto a coordenadas;

v_{i,j}={\frac {\parcial v_{i}}{\parcial x_{j}}}

\operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \ derecha)+\izquierda(\nabla \otimes \mathbf {v} \derecha)^{\mathrm {T} }\derecha)

o - simetrización del tensor;

v_{(i,j)}={\frac {1}{2}}\left(v_{i,j}+v_{j,i}\right)

\operatorname {Alt} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \ derecha)-\izquierda(\nabla \otimes \mathbf {v} \derecha)^{\mathrm {T} }\derecha)

o — alternancia de tensores .

v_{[i,j]}={\frac {1}{2}}\left(v_{i,j}-v_{j,i}\right)

Tipos:

Derivada convectiva superior(derivado de Oldroyd) — ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1} = \ alfa _ {2} = \ alfa _ {3} = 0}$

{\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i ,k}\cdot A_{kj}

Derivada convectiva inferior (derivada de Kotter-Rivlin) - ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1} = \ alfa _ {2} = 4, \ alfa _ {3} = 0}$

{\stackrel {~\vartriangle }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{k,j}+v_{i ,k}\cdot A_{kj}

Derivada convectiva derecha - ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1} = \ alfa _ {2} = 2, \ alfa _ {3} = 0}$

{\stackrel {~\triangleleft }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}+v_{i ,k}\cdot A_{kj}

La derivada convectiva izquierda es ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1} = \ alfa _ {3} = 0, \ alfa _ {2} = 2}$

{\stackrel {~\triangleright }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i ,k}\cdot A_{kj}

Derivada rotacional (derivada de Jaumann , Yaumann - Zaremba - Knoll) - ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1} = \ alfa _ {2} = -1, \ alfa _ {3} = 0}$

{\stackrel {~\circ }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_ {[i,k]}\cdot A_{kj}={\frac {1}{2}}\left({\stackrel {~\triangledown}{A}}_{ij}+{\stackrel {~\ triángulovar }{A}}_{ij}\right)

La derivada de Truesdell es ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1} = \ alfa _ {2} = 0, \ alfa _ {3} = 1}$

{\stackrel {~\blacktriangledown }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i ,k}\cdot A_{kj}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}={\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}+{A}_{ij} \cdot v_{k,k}

La derivada de Hill es ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1} = \ alfa _ {2} = -1, \ alfa _ {3} = 1}$

{\stackrel {~\bullet}{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_ {[i,k]}\cdot A_{kj}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}={\stackrel {~\circ }{A}}_{ij}+{A} _ {ij}\cdot v_{k,k}

Se utilizan varios tipos de derivados convectivos para modelar fluidos no newtonianos , véase, por ejemplo , el fluido de Maxwell .

Enlaces

Ecuaciones reológicas
Sobre la construcción de ecuaciones constitutivas evolutivas
[una]
Weisstein, Eric W. Operador convectivo (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .