Número de contacto

Número de contacto (a veces el número de Newton [1] [2] , en química corresponde al número de coordinación [2] ) - el número máximo de bolas de radio unitario que pueden tocar simultáneamente una de la misma bola en el espacio euclidiano n - dimensional (es se supone que las bolas no penetran entre sí, es decir, el volumen de intersección de dos bolas cualesquiera es igual a cero).

Es necesario distinguir el número de contacto del número de contacto en la red [3]  , un parámetro similar para el empaque regular más denso de bolas . El cálculo del número de contacto en el caso general sigue siendo un problema matemático sin resolver .

Historia

En el caso unidimensional, no más de dos segmentos de unidad de longitud pueden tocar el mismo segmento:

En el caso bidimensional, el problema se puede interpretar como encontrar el máximo número de monedas que tocan la central. La figura muestra que puedes colocar hasta 6 monedas:

Esto significa que . Por otra parte, cada circunferencia tangente corta un arco de 60° sobre la circunferencia central, y estos arcos no se intersecan, entonces . Se puede observar que en este caso las estimaciones desde arriba y desde abajo coinciden y .

En el caso tridimensional, estamos hablando de bolas. Aquí también es fácil construir un ejemplo con 12 bolas tocando la central -están ubicadas en los vértices del icosaedro-  por lo tanto . Este límite inferior ya era conocido por Newton .

Este arreglo es suelto, habrá espacios bastante notables entre las bolas. La estimación de arriba se convirtió en la causa de la conocida disputa entre Newton y D. Gregory en 1694. Newton argumentó que , y Gregory objetó que podría ser posible organizar 13 bolas. Realizó cálculos y encontró que el área de la bola central es más de 14 veces el área de proyección de cada una de las bolas que se tocan, por lo que . Si permite cambiar los radios de las bolas en un 2%, entonces es posible inclinar hasta 14 bolas.

Recién en 1953, en un artículo de Schütte y van der Waerden [4] , se estableció finalmente que Newton tenía razón, a pesar de la falta de una prueba rigurosa.

En el caso de cuatro dimensiones, es bastante difícil imaginar bolas. Hace tiempo que se conoce la colocación de 24 esferas cuatridimensionales alrededor de la central , es tan regular como en el caso bidimensional y simultáneamente resuelve el problema del número de contacto en la red. Esta es la misma ubicación que los cuaterniones de unidades enteras .

Este arreglo fue establecido explícitamente en 1900 por Gosset [5] . Incluso antes, fue encontrado (en un problema equivalente) en 1872 por los matemáticos rusos Korkin y Zolotarev [6] [7] . Esta ubicación otorgó una calificación de abajo .

Los intentos de estimar este número desde arriba condujeron al desarrollo de métodos sutiles de teoría de funciones, pero no dieron un resultado exacto. Primero, logramos probar que , luego logramos reducir el límite superior a . Finalmente, en 2003, el matemático ruso Oleg Musin logró demostrar que [8] .

En las dimensiones 8 y 24 se obtuvo una estimación exacta en la década de 1970 [9] [10] . La prueba se basa en la igualdad del número de contacto y el número de contacto en la red en estas dimensiones: la red E8 (para la dimensión 8) y la red Leach (para la dimensión 24).

Valores conocidos y estimados

En la actualidad, los valores exactos de los números de contacto solo se conocen para , pero también para y . Para algunos otros valores, se conocen los límites superior e inferior.

Dimensión Línea de fondo límite superior
una 2
2 6
3 12
cuatro 24 [8]
5 40 44 [11]
6 72 78 [11]
7 126 134 [11]
ocho 240
9 306 364 [11]
diez 500 554
once 582 870
12 840 1 357
13 1154 [12] 2069
catorce 1606 [12] 3 183
quince 2564 4 866
dieciséis 4 320 7 355
17 5 346 11 072
Dieciocho 7 398 16 572 [11]
19 10 688 24 812 [11]
veinte 17 400 36 764 [11]
21 27 720 54 584 [11]
22 49 896 82 340
23 93 150 124 416
24 196 560

Aplicaciones

El problema tiene una aplicación práctica en la teoría de la codificación. En 1948, Claude Shannon publicó un artículo de teoría de la información que mostraba la posibilidad de transmisión de datos sin errores en canales de comunicación ruidosos utilizando las coordenadas de empaquetamiento de esferas unitarias en un espacio n-dimensional. Véase también Distancia de Hamming .

Véase también

Notas

  1. ↑ Yaglom, I. M. El problema de las trece bolas . - Kyiv: escuela Vishcha, 1975. - 84 p.
  2. ↑ 1 2 J. Conway, N. Sloan. Empaques de bolas, celosías y grupos . - M. : Mir, 1990. - T. 1. - 415 p. — ISBN 5-03-002368-2 . Copia archivada (enlace no disponible) . Consultado el 29 de mayo de 2011. Archivado desde el original el 6 de octubre de 2014. 
  3. ↑ Números de contacto de la red: secuencia OEIS A001116
  4. ↑ Schütte, K. y van der Waerden, BL Das Problem der dreizehn Kugeln  (indefinido)  // Math. Ana. . - 1953. - T. 125 , N º 1 . - S. 325-334 . -doi : 10.1007/ BF01343127 .
  5. ↑ Gosset, Thorold. Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones  //  Messenger of Mathematics : diario. - 1900. - Vol. 29 . - Pág. 43-48 .
  6. ↑ Korkine A., Zolotareff G. Sur les formesatiques positives quaternaires  (neopr.)  // Math. Ana. . - 1872. - V. 5 , N º 4 . - S. 581-583 . -doi : 10.1007/ BF01442912 . Rus. trad.: Zolotarev E. I. Completo. col. Op. - L. : Editorial de la Academia de Ciencias de la URSS, 1931. - S. 66-68.
  7. ↑ N. N. Andreev, V. A. Yudin. Mínimo arpimetico de forma cuadrática y códigos esféricos  // Educación matemática . - 1998. - Nº 2 . - S. 133-140 .
  8. ↑ 1 2 Musin O. R. El problema de las veinticinco esferas  // Avances en Ciencias Matemáticas . - Academia Rusa de Ciencias , 2003. - T. 58 , No. 4 (352) . - S. 153-154 .
  9. ↑ Levenshtein V. I. Sobre los límites de los empaques en el espacio euclidiano de n dimensiones // DAN SSSR. - 1979. - T. 245 . - S. 1299-1303 .
  10. ↑ AM Odlyzko, NJA Sloane. Nuevos límites en el número de esferas unitarias que pueden tocar una esfera unitaria en n dimensiones  //  J. Combin. Teoría Ser. R  : diario. - 1979. - vol. 26 . - pág. 210-214 . - doi : 10.1016/0097-3165(79)90074-8 .
  11. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Hans D. Mittelmann y Frank Vallentin. [ http://arxiv.org/abs/0902.1105 Límites de programación semidefinidos de alta precisión para números que se besan] // Matemáticas experimentales. - 2010. - T. 19 , N º 2 . - S. 174-178 .
  12. ↑ 1 2 V. A. Zinoviev, T. Erickson. Nuevos límites inferiores para el número de contacto para dimensiones pequeñas  // Probl. transmisión de información .. - 1999. - T. 35 , No. 4 . - S. 3-11 .

Enlaces