Continua

Una continua es un polinomio definido en varias variables asociado con fracciones continuas .

Definiciones

Recursivo

La continuante del índice n es un polinomio definido por la relación de recurrencia : $K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)$

K_{-1}=0,\qquad K_0 = 1,

K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = x_n K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) + K_{n-2}(x_1,\; \ldots,\;x_{n-2}).

Mediante el determinante

La continua también se puede definir como el determinante de una matriz tridiagonal.

K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots,\;x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&1&0&\cdots &0\ \-1&x_{2}&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&x_{n}\end {matrix}}.

Propiedades

La continua es la suma de todos los monomios obtenidos a partir de un monomio eliminando todos los posibles pares de variables vecinas que no se cruzan ( regla de Euler ). $K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)$ $x_1\cdot\ldots\cdot x_n$
- Ejemplo: $K_5(x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4,\;x_5) = x_1 x_2 x_3 x_4 x_5\; +\; x_3 x_4 x_5\; +\; x_1 x_4 x_5\; +\; x_1 x_2 x_5\; +\; x_1 x_2 x_3\; +\; x_1\; +\; x_3\; +\; x_5.$
- Consecuencia: Las continuas tienen simetría especular: $K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = K_n(x_n,\;\ldots,\;x_1).$
$K_n(1,\;\ldots,\;1) = F_{n+1}$ es el número de Fibonacci .
La identidad correcta es: $\frac{K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = x_1 + \frac{K_{n-2}( x_3,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)}$
En el campo de las fracciones racionales $\frac{K_n(x_1,\;\ldots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = [x_1;\;x_2,\;\ldots,\; x_n] = x_1 + \frac{1}{\displaystyle{x_2 + \frac{1}{x_3 + \ldots}}}$ - Disparo en cadena .
La relación matricial correcta es: $\begin{pmatrix} K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) \\ K_{n-1} (x_2,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times\ldots\times\begin{pmatrix} x_n & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
- ¿De dónde viene la identidad de los determinantes? $K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) - K_{n-1}(x_1,\; \ldots,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n}) = (-1)^n.$
- Tanto como: $K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n+2}(x_1,\;\ldots,\;x_{n+2}) - K_n(x_1,\; \ldots,\;x_n)\cdot K_{n+1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n+2}) = (-1)^{n+1} x_{n+2}.$

Enlaces

Siziy SV Conferencias sobre teoría de números . — Libro de texto de especialidades matemáticas. - Ekaterimburgo: la Universidad Estatal de los Urales lleva su nombre. A. M. Gorki, 1999.
Prasolov VV Problemas y teoremas de álgebra lineal . — M .: Nauka, 1996. — ISBN 5-02-014727-3 .