Coordenadas de Lemaître

Las coordenadas de Lemaitre son coordenadas en el espacio-tiempo de Schwarzschild , obtenidas por primera vez por Georges Lemaitre en 1933 [1] [2] [3] [4] usando una transformación de coordenadas. En estas coordenadas se eliminó por primera vez la singularidad de coordenadas sobre el radio gravitacional .

Métrica de Lemaitre

La métrica de Schwarzschild en el sistema viene dada por la expresión: ${\ estilo de visualización c = G = 1}$

ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)\,dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1 -{\dfrac {r_{g}}{r}}}}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),

donde es el intervalo ; $ds^2$

$r_{g}=2M$ es el radio de gravedad ;
$METRO$ es la masa del cuerpo central;
$t,\;r,\;\theta,\;\varphi$ son las coordenadas de Schwarzschild, transformándose asintóticamente en coordenadas esféricas planas ;
$C$ es la velocidad de la luz ;
$GRAMO$ es la constante gravitatoria .

La métrica de Schwarzschild tiene una singularidad en el radio gravitatorio en . ${\ Displaystyle r = r_ {g}}$

Georges Lemaitre fue el primero en señalar que esta singularidad no es física, sino que es consecuencia del hecho de que las coordenadas estacionarias de Schwarzschild no se pueden realizar utilizando cuerpos físicos bajo el radio gravitatorio. De hecho, bajo el radio gravitacional, todos los cuerpos, incluidos los rayos de luz, caen hacia el centro, y es imposible mantener el cuerpo físico en un radio constante por ninguna fuerza.

Transformación de coordenadas de Schwarzschild a nuevas coordenadas de Lemaitre : ${\ estilo de visualización \ {t, \; r \}}$ ${\ estilo de visualización \ {\ tau, \; \ rho \))$

{\begin{cases}d\tau =dt+{\sqrt {\dfrac {r_{g}}{r}}}{\dfrac {1}{1-{\dfrac {r_{g}}{ r))))\,dr;\\d\rho =dt+{\sqrt {\dfrac {r}{r_{g)))){\dfrac {1}{1-{\dfrac {r_{g} {r}}}}\,dr\end{casos}}

conduce a la métrica de Lemaitre:

ds^{2}=d\tau ^{2}-{\frac {r_{g}}{r}}\,d\rho ^{2}-r^{2}(d\theta ^ {2}+\sin^{2}\theta\,d\varphi^{2}),

dónde

r=\left[{\frac {3}{2}}(\rho -\tau )\right]^{2/3}r_{g}^{1/3}.

En las coordenadas de Lemaitre, no hay singularidad en el radio gravitacional, donde . La verdadera singularidad en el centro , se conserva. ${\frac {3}{2}}(\rho -\tau )=r_{g}$ ${\ estilo de visualización \ rho - \ tau = 0}$

La métrica de Lemaitre es sincrónica : los cuerpos que están inmóviles en las coordenadas de Lemaitre están en un estado de caída libre en el campo gravitatorio del cuerpo central. Los cuerpos que caen verticalmente alcanzan el radio gravitacional y el centro en un tiempo propio finito.

A lo largo del camino del haz de luz.

dr=\left(\pm 1-{\sqrt {\frac {r_{g}}{r}}}\right)\,d\tau ,

por lo tanto, ninguna señal puede ir más allá del radio gravitacional, donde siempre , y los rayos de luz emitidos verticalmente hacia arriba y hacia abajo terminan ambos en el centro. $dr<0$

Notas

↑ G. Lemaitre. L'Univers en expansion // Annales de la Société Scientifique de Bruxelles. - 1933. - T.A53 . - S. 51-85 . - .
↑ Lemaitre, Abbé Georges. El Universo en Expansión ({Inglés}) // Relatividad General y Gravitación . - Kluwer Academic Publishers-Plenum Publishers, 1997. - V. 29 . - S. 641-680 . -doi : 10.1023/A : 1018855621348 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teoría de campos. - (" Física Teórica ", Tomo II).
↑ Gsponer A. Más sobre la interpretación temprana de la solución de Schwarzschild. Archivado el 7 de mayo de 2021 en Wayback Machine .