Curva de Eudoxo

La curva de Eudoxo ( griego : καμπύλη [γραμμή], que se traduce como "curva [línea]") es una curva con una ecuación en coordenadas cartesianas .

{\ estilo de visualización x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),}

de la cual se excluye la solución x = y = 0 .

Parametrizaciones alternativas

En el sistema de coordenadas polares , la curva de Eudoxo tiene la ecuación

r=a\sec ^{2}\theta .

De manera equivalente, la curva tiene una representación paramétrica

x=a\sec(t),\quad y=a\tan(t)\sec(t).

Historia

Esta curva de cuarto grado fue estudiada por el astrónomo y matemático griego Eudoxo de Cnido (408-347 a. C.) en relación con el problema clásico de la duplicación del cubo .

Propiedades

La curva de Eudoxo es simétrica tanto en el eje x como en el eje y . Se cruza con el eje x en los puntos (± a ,0). La curva tiene puntos de inflexión .

\left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)

(cuatro puntos de inflexión, uno en cada cuadrante). La mitad superior de la curva se aproxima asintóticamente a , y, de hecho, podemos escribir ${\ estilo de visualización x^{2}/aa/2}$ $x\a\infty$

y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac { x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty}C_{n}\left({\frac {a}{2x} }\derecho)^{2n},

dónde

C_{n}={\frac{1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}

es el enésimo número catalán . $norte$

Notas

Literatura

J.Dennis Lawrence. Un catálogo de curvas planas especiales . - Publicaciones de Dover, 1972. - S. 141-142 . - ISBN 0-486-60288-5 .

Enlaces

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Kampyle of Eudoxus" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews .
Weisstein, Eric W. Kampyle de Eudoxus (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .