El criterio de Liouville-Mordukhai-Boltovsky

El criterio de Liouville-Mordukhai-Boltovsky es un criterio para la existencia de una solución en cuadraturas generalizadas de una ecuación diferencial ordinaria homogénea lineal de orden arbitrario.

Historia

Un caso especial del criterio (para ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden) fue probado por el matemático francés Liouville en 1839. Al desarrollar el método de Liouville, el matemático ruso Mordukhai-Boltovskoy en 1910 demostró un criterio para ecuaciones de orden arbitrario [1] :

Redacción

ecuación diferencial de orden n

y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+\cdots +p_{n}y=0

con coeficientes de un campo diferencial funcional , todos cuyos elementos son representables en cuadraturas generalizadas, se resuelve en cuadraturas generalizadas si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes: $Pi}$ $k$

Primero, tiene una solución de la forma

y_{1}(x)=\exp \int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt,

donde es una función que se encuentra en alguna extensión algebraica del campo , $F$ $K_1$ $k$

En segundo lugar, la ecuación diferencial de orden (n−1) para una función con coeficientes del campo , obtenida de la ecuación original mediante el procedimiento de reducción de orden, se resuelve en cuadraturas generalizadas sobre el campo . $z=y'-{\frac {y_{1}'}{y_{1))}y$ $K_1$ $K_1$

Notas

↑ A. G. Khovansky . Teoría topológica de Galois: resolubilidad e insolubilidad de ecuaciones en forma finita. — M. : Editorial MTsNMO , 2008. (págs. 54-55).

Literatura

A. G. Khovansky. Teoría topológica de Galois: resolubilidad e insolubilidad de ecuaciones en forma finita. — M. : Editorial MTsNMO , 2008. — 296 p.