Lema de Gauss sobre residuos cuadráticos

El lema de Gauss permite determinar si un número es un residuo cuadrático módulo un número primo .

Redacción

Tome un simple y natural tal que . Veamos los restos de los números módulo . Deje entre ellos restos mayores que , entonces ( aquí se usa el símbolo de Legendre ). $pags$ $a$ ${\ estilo de visualización (a, p) = 1}$ $a,2\cdot a,3\cdot a,\dots {\frac {p-1}{2}}\cdot a$ $pags$ $v$ $\frac{p}{2}$ $\left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{v}$

Prueba

Consideremos el trabajo . Reemplacemos los números mayores que módulo con . Luego lo sacamos a la izquierda y obtenemos el producto de algunos números módulo , que son módulo diferente ( ) y dan un resto menor que , por lo que este producto es comparable a . Entonces podemos acortar nuestra comparación y obtener eso . Según el criterio de Euler . [una] $a\cdot 2a\cdot 3a\cdots {\frac {p-1}{2}}\cdot a\equiv \left({\frac {p-1}{2}}\right)!\cdot a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}$ $k\cdot a$ $\frac{p}{2}$ $pags$ $(-1)\cdot (pk\cdot a)$ ${\ estilo de visualización (-1) ^ {v}}$ ${\frac{p-1}{2}}$ $pags$ $pags$ $(m\pm n)\cdot a\not \equiv 0{\pmod {p))$ $\frac{p}{2}$ $\left({\frac {p-1}{2}}\right)!$ $\left({\frac {p-1}{2}}\right)!$ $(-1)^{v}\equiv a^{(p-1)/2}{\pmod {p))$ $a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \left({\frac {a}{p}}\right){\pmod {p}}$

Notas

↑ Davenport G. Aritmética superior. Una introducción a la teoría de números . — ISBN 539701298X . — ISBN 9785397012980 . Archivado el 30 de septiembre de 2017 en Wayback Machine .