Espacio conectado localmente

Un espacio localmente conectado es un espacio topológico en el que para cualquier punto y cualquiera de sus vecindades hay una vecindad conectada más pequeña . De manera equivalente, un espacio topológico con bases locales de conjuntos conectados. $X$ $X$ $Buey$ $U_x$

Propiedades

Todo subconjunto abierto de un espacio conectado localmente está conectado localmente.
Cada componente conectado de un espacio localmente conectado es abierto y cerrado.
Cada espacio conectado por ruta localmente está conectado localmente, lo contrario no siempre es cierto.
- Una inversa parcial de esta afirmación: cada espacio métrico completo conectado localmente está conectado localmente por una ruta ( teorema de Mazurkiewicz-Moore-Menger ).

Variaciones y generalizaciones

Un espacio localmente conexo es un espacio topológico en el que para cualquier punto y cualquiera de sus vecindades hay una vecindad más pequeña simplemente conexa . Equivalentemente, un espacio topológico con bases locales de conjuntos simplemente conectados. $X$ $X$ $Buey$ $U_x$

Espacio semilocalmente simplemente conectado