Matriz de Lehmer

La matriz de Lehmer es una matriz simétrica definida para cada uno como: ${\ estilo de visualización L^{n}}$ $n>1$

L_{ij}^{n}={\frac {{\mbox{min}}(i,j)}{{\mbox{max}}(i,j)))

El nombre de Derrick Lemaire .

Cada una de las matrices de Lehmer es una submatriz (es decir, para todos ). Los valores de los elementos disminuyen a medida que te alejas de la diagonal principal; como todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1, entonces la traza es igual a . ${\ estilo de visualización L^{n}}$ ${\ estilo de visualización L^{n+m}}$ ${\displaystyle L_{ij}^{n+1}=L_{ij}^{n))$ $i,j\leqslant n$ ${\ estilo de visualización L^{n}}$ $norte$

La matriz inversa a la matriz de Lehmer es tridiagonal , donde la superdiagonal y la subdiagonal tienen elementos estrictamente negativos. La submatriz de dimensión inversa a la matriz de Lehmer coincide con la inversa a la matriz , excepto para el elemento con índice . $n\veces n$ ${\ estilo de visualización L^{n+m}}$ ${\ estilo de visualización L^{n}}$ ${\ estilo de visualización (n, n)}$

Matrices de Lehmer de tamaños 2×2, 3×3 y 4×4 y sus inversas:

{\begin{array}{lllll}A_{2}={\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}}&A_{2}^{-1}={\begin {pmatrix}4/3&-2/3\\-2/3&{\color {BrickRed}\mathbf {4/3} }\end{pmatrix}}\\\\A_{3}={\begin{pmatrix }1&1/2&1/3\\1/2&1&2/3\\1/3&2/3&1\end{pmatrix}}&A_{3}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&\ \-2/3&32/15&-6/5\\&-6/5&{\color {BrickRed}\mathbf {9/5} }\end{pmatrix}}\\\\A_{4}={\begin {pmatrix}1&1/2&1/3&1/4\\1/2&1&2/3&1/2\\1/3&2/3&1&3/4\\1/4&1/2&3/4&1\end{pmatrix}}&A_{4}^{- 1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&&\\-2/3&32/15&-6/5&\\&-6/5&108/35&-12/7\\&&-12/7&{\ color {Rojo ladrillo}\mathbf {16/7} }\end{pmatrix}}\\\end{matriz}}

Enlaces

M. Newman y J. Todd, La evaluación de los programas de inversión de matrices , Diario de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Volumen 6, 1958, páginas 466-476.