Método de Descenso Infinito

El método del descenso infinito es un método de demostración por contradicción , basado en el hecho de que el conjunto de los números naturales está completamente ordenado . Significativamente desarrollado por Pierre Fermat .

Suele utilizarse para probar que alguna ecuación no tiene solución según el siguiente esquema: a partir de la suposición de que existe una solución, se prueba la existencia de otra solución, que en algún sentido es más pequeña, entonces se puede construir una cadena infinita de soluciones, cada una del cual es menor que el anterior, esto provoca una contradicción con el hecho de que en todo subconjunto no vacío de números naturales existe un elemento minimal, entonces la suposición de la existencia de una solución inicial es falsa.

Ejemplo

Para probar la irracionalidad usando el método del descenso infinito, se supone que es un número racional : ${\ sqrt {2}}$

{\sqrt {2}}={\frac{p}{q}}

para algunos números naturales y . Entonces el cuadrado de este número es: $pags$ $q$

2={\frac{p^{2}}{q^{2}}}

eso es Esto significa que es un número par . Por : , cuando se sustituye por : . Dividiendo ambas partes por 2 da: , lo que significa que también es un número par. Así, los números originales y se pueden dividir simultáneamente por 2 y obtener una representación diferente . Con los números resultantes, puedes hacer la misma operación, y así infinitas veces. Así, se construye una secuencia infinitamente decreciente de números naturales, lo cual es imposible. Es decir, no es un número racional . ${\ estilo de visualización 2q^{2}=p^{2}}$ $pags$ ${\ estilo de visualización p = 2r}$ ${\displaystyle p^{2}=(2r)^{2}=4r^{2))$ ${\ estilo de visualización 4r^{2}}$ $p^{2}$ ${\ estilo de visualización 2q^{2}=4r^{2}}$ ${\ estilo de visualización q^{2}=2r^{2}}$ $q$ $pags$ $q$ ${\ sqrt {2}}$ ${\ sqrt {2}}$

Enlaces

L. Kurlyandchik, G. Rosenblum. Método de descenso infinito // Kvant . - 1978. - Nº 1 . - S. 24-27 .