Método de relajación

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El método de relajación (del lat. relaxatio aquí "reducción") es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales .

Descripción del método

Sistema de ecuaciones lineales

$\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1\\ a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2\\ & \ldots & \\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn}x_n & = & b_n\\ \end{matriz} \right.$

reducido a la forma [1]

$\left\{{\begin{matriz}P_{11}x_{1}+P_{12}x_{2}+\ldots +P_{1n}x_{n}+c_{1}&=&0 \\&\ldots &\\P_{n1}x_{1}+P_{n2}x_{2}+\ldots +P_{nn}x_{n}+c_{n}&=&0\\\end{ matriz}}\right.$

donde , . Es decir, todos = -1. $P_{ij}=-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}}$ $c_i = \frac{b_i}{a_{ii}}$ $P_{ii}$

Los residuos se encuentran : $R_{j}$

$\left\{{\begin{matriz}R_{1}^{(0)}&=&c_{1}-x_{1}^{(0)}+\sum \limits _{j=2 }^{n}P_{1j}x_{j}^{(0)}\\R_{2}^{(0)}&=&c_{2}-x_{2}^{(0)}+\ suma \limits _{j=1,j\neq 2}^{n}P_{2j}x_{j}^{(0)}\\&\ldots &\\R_{n}^{(0)} &=&c_{n}-x_{n}^{(0)}+\sum \limits _{j=1}^{n-1}P_{nj}x_{j}^{(0)}\\ \end{matriz}}\right.$

Se elige la aproximación inicial . En cada paso, es necesario establecer la discrepancia máxima en cero: . $X^{(0)} = 0$ $R_{s}^{(k)}=\delta x_{s}^{(k)}\Rightarrow R_{s}^{(k+1)}=0,R_{i}^{( k+1)}=R_{i}^{(k)}+P_{es}\delta x_{s}^{(k)}$

Condición de parada: . $|R_j^{(k)}| < \varepsilon, \forall j = \overline{1, n}$

La respuesta viene dada por la fórmula: . $x_i \approx x_i^{(0)} + \sum_j \delta x_i^{(j)}$

Notas

↑ Salvadori M.J. Métodos numéricos en ingeniería. - M. , Vuzovskaya kniga, 2007. - ISBN 5-9502-0186-8 - pág. 36-42

Métodos para resolver SLAE
Métodos directos	método matricial método de Gauss Método de Gauss-Jordan método Cramer descomposición LU Descomposición de Cholesky método de barrido
Métodos iterativos	método jacobi Método de Gauss-Seidel método de iteración método de relajación método de gradiente conjugado Método de gradiente biconjugado Método de gradiente biconjugado estabilizado
General	matriz inversa Métodos de proyección para resolver SLAE preacondicionamiento