Polinomios de Zernike

Los polinomios de Zernike son una secuencia de polinomios que son ortogonales en el círculo unitario . Nombrado en honor al premio Nobel óptico e inventor del microscopio de contraste de fase Fritz Zernike . Desempeñan un papel importante en la óptica [1] .

Definiciones

Hay polinomios de Zernike pares e impares . Incluso los polinomios se definen como

Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )

y extraños como

Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi )

donde m y n son números enteros no negativos tales que n ≥ m , φ es el ángulo acimutal y ρ es la distancia radial, . Los polinomios de Zernike están limitados en el rango de −1 a +1, es decir . ${\ estilo de visualización 0 \ leq \ rho \ leq 1}$ $|Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1$

Los polinomios radiales se definen como ${\displaystyle R_{n}^{m))$

R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(nm)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{ k}\,(nk)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((nm)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\ ,k}

para valores pares de n − m , y son idénticamente iguales a cero para n − m impares .

Otras representaciones

Al reescribir la fracción con factoriales en la parte radial como un producto de coeficientes binomiales , se puede demostrar que los coeficientes en las potencias son números enteros: $\rho$

R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{(nm)/2}(-1)^{k}{\binom {nk}{k)) {\ binom {n-2k}{{\tfrac {nm}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}

Para identificar recurrencias, demostrar que estos polinomios son un caso especial de los polinomios de Jacobi , escribir ecuaciones diferenciales , etc., se utiliza la notación en forma de funciones hipergeométricas :

{\begin{alineado}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2))}\rho ^{n}\ { }_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2)),-{\tfrac {nm}{2));-n;\rho ^{-2}\right )\\&=(-1)^{\tfrac {n+m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{\tfrac {nm}{2}}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+n,1-{\tfrac {nm}{2));1+{\tfrac {n+m}{2)); \rho ^{2}\right)\end{alineado}}

para valores pares de n − m .

Propiedades

Ortogonalidad

La ortogonalidad en la parte radial se escribe por la igualdad

\int _{0}^{1}\rho {\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{ n'}^{m}(\rho )\,d\rho =\delta _{n,n'}.

La ortogonalidad en la parte de la esquina está representada por un conjunto de igualdades

\int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\varepsilon _{m}\pi ​​\delta_{ |m |,|m'|},

\int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =(-1)^{m+m'}\pi \ delta _ {|m|,|m'|};\quad m\neq 0,

\int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,

donde el parámetro (a veces llamado multiplicador de Neumann ) se establece en 2 si y 1 si . El producto de las partes angular y radial establece la ortogonalidad de las funciones de Zernike en ambas variables al integrar sobre el círculo unitario: ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {m}}$ $metro=0$ $m\neq 0$

\int Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac { \varepsilon _{m}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'},

donde es el jacobiano del sistema de coordenadas polares, y ambos números y son pares. $d^{2}r=\rho\,d\rho\,d\varphi$ $Nuevo Méjico$ ${\ estilo de visualización n'-m'}$

Ejemplos

Polinomios radiales

A continuación se muestran los primeros polinomios radiales.

R_{0}^{0}(\rho )=1

R_{1}^{1}(\rho )=\rho

R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1

R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}

R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho

{\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3))

R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1

R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}

{\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4))

R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho

R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}

R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}

R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1

{\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2))

{\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4))

R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.

Véase también

Notas

↑ Zernike, F. Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode (alemán) // Physica I : tienda. - 1934. - Bd. 8 _ - S. 689-704 .

polinomios ortogonales
Polinomios de Bessel Polinomios de Gegenbauer Polinomios de Kravchuk Polinomios de Laguerre Polinomios de Legendre Polinomios de Polachek Polinomios de Rogers Polinomios de Zernike Polinomios de Chebyshev Polinomios de Charlier Polinomios de Hermite Polinomios de Jacobi