Muchos vitali
El conjunto de Vitali es el primer ejemplo de un conjunto de números reales que no tiene medida de Lebesgue . Este ejemplo, que se ha convertido en un clásico, fue descrito por el matemático italiano Giuseppe Vitali en 1905. [una]
Historia
Un año antes del artículo de Vitali, en 1904, Henri Lebesgue publicó Lectures on Integration and Finding Primitive Functions, donde describió su teoría de la medida y expresó la esperanza de que fuera aplicable a cualquier conjunto limitado de números reales. El descubrimiento del conjunto Vitali demostró que esta esperanza no estaba justificada. Posteriormente, se descubrieron otros contraejemplos , pero su construcción siempre se basa esencialmente en el axioma de elección .
Edificio
Considere la siguiente relación de equivalencia en el intervalo : si la diferencia es racional . Como de costumbre, esta relación de equivalencia divide el intervalo en clases de equivalencia, cada una de las cuales tiene una cardinalidad contable, pero su número tiene una cardinalidad continua . Además, de cada clase de equivalencia elegimos un representante: un punto (aquí usamos el axioma de elección ). Entonces el conjunto resultante de representantes será inconmensurable.
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De hecho, si desplazamos un número contable de veces por todos los números racionales del intervalo , entonces la unión contendrá todo el segmento , pero al mismo tiempo estará contenido en el segmento . En este caso, las "copias desplazadas" del conjunto no se cruzarán entre sí, lo que se deriva directamente de la construcción de y .
![[-1,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\ estilo de visualización [0,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971caee396752d8bf56711f55d2c3b1207d4a236)
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Supongamos que es medible Lebesgue , entonces son posibles 2 opciones.
- La medida E es igual a cero. Entonces la medida del intervalo , como unión contable de conjuntos de medida cero, también será igual a cero.
- La medida E es mayor que cero. Entonces concluimos de manera similar que la medida del intervalo , debido a la aditividad numerable de la medida de Lebesgue, será infinita.
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
En ambos casos, resulta una contradicción. Por lo tanto, el conjunto de Vitali no es medible según Lebesgue.
Notas
- ↑ Vitali, Giuseppe . Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta (italiano) // Bolonia, Tip. Gamberini e Parmeggiani: diario. — 1905.
Literatura
- Brylevskaya L. I. Sobre la historia del problema de la medida en la primera mitad del siglo XX // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka , 1986. - Nº 30 . - S. 97-112 .
- Gelbaum, B., Olmsted, J. Contraejemplos en análisis = Contraejemplos en análisis. — M. : LKI, 2007. — 258 p. — ISBN 978-5-382-00046-6 . .
- Yashchenko IV Paradojas de la teoría de conjuntos. Serie "Biblioteca " Educación Matemática ", Número 20, 2002. ISBN 5-94057-003-8