Ecuaciones naturales

Ecuaciones naturales  - Relaciones de curvatura y torsión de curvas biregulares . Una propiedad notable de las ecuaciones naturales es que se puede reconstruir de forma única una curva a partir de ellas. Ecuaciones naturales, ecuaciones que expresan la curvatura y torsión de una curva en función de su arco: , . El nombre de "ecuaciones naturales" se explica por el hecho de que las funciones yno dependen de la posición de la curva en el espacio (de la elección del sistema de coordenadas), sino que dependen únicamente de la forma de la curva. Dos curvas diferenciables tres veces continuamente que tienen las mismas ecuaciones naturales pueden diferir entre sí solo en su posición en el espacio. En otras palabras, la forma de una curva está determinada únicamente por sus ecuaciones naturales. Si se dan dos funciones continuas y , de las cuales la primera es positiva, entonces siempre existe una curva para la cual estas funciones son, respectivamente, curvatura y torsión.

Ecuaciones naturales de curvas planas

Sea  una función suave arbitraria. En este caso, existe una curva , que es única hasta el movimiento del plano que conserva la orientación, parametrizado por un parámetro natural , y tal que en todos los puntos de la curva. Aquí, la cantidad  es la curvatura orientada de la curva .

Ecuaciones naturales en tres dimensiones

Sean y  dos funciones suaves arbitrarias, y sean positivas. Entonces existe una curva parametrizada por el parámetro natural , cuya curvatura y torsión son iguales en cada punto y respectivamente. Tal curva es única hasta un movimiento del espacio que preserva la orientación.