Desigualdad de Bishop-Gromov

La desigualdad de Bishop-Gromov es un teorema de comparación en la geometría de Riemann . Es la declaración clave en la demostración del teorema de compacidad de Gromov [1] .

La desigualdad lleva el nombre de Richard Bishop y Mikhail Gromov .

Redacción

Sea una variedad riemanniana completa de n dimensiones con curvatura de Ricci acotada por debajo , es decir $METRO$

\mathrm {Ric} \geqslant (n-1)K

por constante . $K\en \mathbb {R}$

Denotar por una bola de radio r alrededor de un punto p , definido con respecto a la función de distancia de Riemann . ${\ Displaystyle B (p, r) _ {M))$

Denotemos el espacio modelo n -dimensional. Es decir , un espacio completo n - dimensional simplemente conectado de curvatura seccional constante . De este modo, ${\ estilo de visualización \ mathbb {M} ^ {n} (K)}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {M} ^ {n} (K)}$ $k$

${\ estilo de visualización \ mathbb {M} ^ {n} (K)}$ es una n - esfera de radio si , o ${\ estilo de visualización 1/{\ sqrt {K}}}$ $k>0$
espacio euclidiano n - dimensional si , o $K=0$
Espacio de Lobachevsky con curvatura . $k<0$

Entonces para cualquiera y la función $p\en M$ ${\tilde {p}}\en \mathbb {M} ^{n}(K)$

\phi (r)={\frac {\operatorname {Vol} B(p,r)_{M)){\operatorname {Vol} B({\tilde {p)),r)_{\ matemática bb {M} ^{n}(K)}}}

no aumenta en el intervalo . ${\ estilo de visualización (0, \ infinito)}$

Notas

Para , la desigualdad se puede escribir de la siguiente manera $K=0$ ${\displaystyle \operatorname {Vol} B(p,\lambda \cdot r)_{M}\leqslant \lambda ^{n}\cdot \operatorname {Vol} B(p,r)_{M))$

en .

{\ estilo de visualización \ lambda \ geqslant 1}

Si r tiende a cero, entonces la relación se aproxima a uno, por lo que junto con la monotonicidad, esto significa que $\operatorname {Vol} B(p,r)_{M}\leqslant \operatorname {Vol} B({\tilde {p)),r)_{\mathbb {M} ^{n}(K )}.$

Esta versión fue probada por primera vez por Bishop [2] [3] .

Véase también

teorema de myers

Notas

↑ Yu. D. Burago , V. A. Zalgaller , Introducción a la geometría riemanniana 1991, p. 320, (22.5)
↑ Bishop, R. Una relación entre volumen, curvatura media y diámetro. amer Matemáticas. soc. No. 10 (1963), pág. 364.
↑ Bishop RL, Crittenden RJ Geometría de variedades, Corolario 4, p. 256