Desigualdad de Clausius

Desigualdad de Clausius (1854): La cantidad de calor recibido por un sistema en cualquier proceso circular, dividida por la temperatura absoluta a la que fue recibido ( la cantidad reducida de calor ), es no positiva.

\circ \sum \limits _{i=1}^{N}{{Q_{i}} \over {T_{i}}}\leq 0.

Aquí el signo denota un proceso circular. La cantidad de calor suministrado, recibido cuasiestáticamente por el sistema, no depende de la ruta de transición (está determinada solo por los estados inicial y final del sistema) - para procesos cuasiestáticos , la desigualdad de Clausius se convierte en una igualdad [1] . $\circ$

\circ \sum \limits _{i=1}^{N}\left({{Q_{i}} \over {T_{i}}}\right)_{QuazistaticProcess}=0.

Conclusión

Caso especial: dos depósitos de calor

Deje que el sistema se comunique con depósitos térmicos y temperaturas y respectivamente. No importa cuál de ellos es un calentador y cuál es un refrigerador (la dirección de la transferencia de calor está determinada por el signo: positivo si lo recibe el sistema y negativo de lo contrario). Según el segundo teorema de Carnot , la eficiencia del ciclo de Carnot es máxima; se realiza para el sistema . Esto implica un caso especial [2] de la desigualdad de Clausius: $yo$ $R_{1}$ $R_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $yo$ $1-{{Q_{2}} \sobre {Q_{1}}}\leq 1-{{T_{2}} \sobre {T_{1}}}$

{{Q_{1}} \sobre {T_{1}}}+{{Q_{2}} \sobre {T_{2}}}\leq 0.

(Para un proceso reversible, en particular para un ciclo de Carnot, se cumple la igualdad).

Caso general: muchos depósitos termales

Para obtener la desigualdad de Clausius en forma general, podemos considerar el sistema A operando con n depósitos de temperatura y recibiendo calor de ellos . Se introduce un depósito de temperatura adicional . Entre él y el resto de los tanques, se lanzan máquinas de Carnot, una para cada uno. $T_{yo}$ $Q_{yo}$ $T_{0}$

Por la igualdad anterior, para un sistema reversible de dos depósitos,

{{Q_{0i}} \over {T_{0}}}+{{Q'_{i}} \over {T_{i}}}=0\Rightarrow Q_{0}=\sum \ límites _ {i=1}^{n}{Q_{0i}}=-T_{0}\sum \limits_{i=1}^{n}{{Q'_{i}} \over {T_ {i}}}.

Los ciclos de Carnot se llevan a cabo de tal manera que transfieren tanto calor a los depósitos como lo transfirieron al sistema A.

Q'_{i}=-Q_{i}.

Después

Q_{0}=T_{0}\sum \limits _{i=1}^{n}{{Q_{i}} \over {T_{i}}}.

Este calor lo cederá el depósito de temperatura , mientras que el estado del resto de depósitos volverá a su estado original. Por lo tanto, el proceso considerado es equivalente al proceso de transferencia de calor por parte del depósito de temperatura al sistema A, y el conjunto "sistema A - depósito " está aislado térmicamente. Por lo tanto, según la primera ley de la termodinámica , el sistema A ha realizado un trabajo . Según la formulación de Thomson de la segunda ley de la termodinámica , este trabajo no puede ser positivo. Por lo tanto, la desigualdad de Clausius en forma general es obvia: $T_0$ $Q_0 = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \over {T_i }}}$ $T_0$ $T_{0}$ $Q_0 = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \over {T_i }}}$

\sum \limits _{i}^{}{{Q_{i}} \over {T_{i}}}\leq 0.

Consecuencias

La desigualdad de Clausius nos permite introducir el concepto de entropía [3] .

La entropía de un sistema es función de su estado, definido hasta una constante arbitraria. La diferencia de entropía en dos estados de equilibrio 1 y 2 es, por definición, igual a la cantidad reducida de calor que debe impartirse al sistema para transferirlo del estado 1 al estado 2 a lo largo de cualquier camino cuasiestático.

{S_{\rm {2}}-S_{\rm {1}}=\int \limits_{{\rm {1}}\to {\rm {2}}}{{\delta Q } \sobre T}}.

La desigualdad de Clausius y la definición de entropía implican directamente el equivalente a la segunda ley de la termodinámica.

La ley de la entropía no decreciente . La entropía de un sistema adiabáticamente aislado aumenta o permanece constante.

Notas

↑ Sivukhin D.V. Curso general de física. - M. : Nauka , 1975. - T. II. Termodinámica y física molecular. — 519 pág.
↑ Landau L. D. , Lifshits E. M. Física estadística. Parte 1.- (" Física Teórica ", Tomo V).
↑ Kirichenko NA 1.3.8. Desigualdad de Clausius // Termodinámica, estadística y física molecular. - 3ra ed. - M. : Fizmatkniga, 2005. - S. 28-29. — 176 pág. - ISBN 5-89155-130-6 .