Desigualdad de Loyasevich

La desigualdad de Lojasiewicz es una desigualdad establecida por el matemático polaco Stanisław Lojasiewicz ( polaco : Stanisław Łojasiewicz ), que da un límite superior para la distancia desde un punto de un conjunto compacto arbitrario al conjunto de nivel cero de una función analítica real de muchas variables. . Esta desigualdad ha encontrado aplicaciones en varias ramas de las matemáticas, incluida la geometría algebraica real, el análisis y la teoría de ecuaciones diferenciales [1] [2] .

Redacción

Sea la función analítica real sobre un conjunto abierto no vacío y sea el conjunto de ceros de la función . Si el conjunto no es vacío, entonces para cualquier conjunto compacto no vacío existen constantes y tales que la desigualdad $f:U\to \mathbb{R}$ $U\subconjunto \mathbb{R} ^{n}$ $Z=\{x\en U:f(x)=0\}$ $F$ $Z$ $K\subconjunto U$ $\alfa \geq 2$ $C>0$

\inf _{{z\in Z}}|xz|^{\alpha }\leq C|f(x)|\ \ \forall \,x\in K,

cuyo número puede ser bastante grande. $\alfa$

Además, para cualquier punto hay una vecindad suficientemente pequeña de él y tales constantes y , que la segunda desigualdad de Loyasevich se cumple ː $p\en ti$ $W\subconjunto U$ $0<\beta<1$ $C>0$

|f(x)-f(p)|^{\beta }\leq C|\nabla f(x)|\ \ \forall \,x\in W.

Obviamente, de la segunda desigualdad se sigue que para cada punto crítico de una función analítica real existe una vecindad tal que la función toma el mismo valor en todos los puntos críticos de esta vecindad.

Literatura

Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi II , Desigualdades y aplicaciones de Lojasiewicz, arXiv: 1402.5087 Archivado el 21 de enero de 2022 en Wayback Machine .
Malgrange B. Ideales de funciones diferenciables. — M.: Mir, 1968.
Bierstone, Edward & Milman, Pierre D. (1988), Semianalytic and subanalytic sets , Publications Mathématiques de l'IHÉS (no. 67): 5–42, MR : 972342 , ISSN 1618-1913 , < http://www. numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__5_0 > Archivado el 8 de agosto de 2014 en Wayback Machine .
Ji, Shanyu; Kollár, János & Shiffman, Bernard (1992), Una desigualdad global de Łojasiewicz para variedades algebraicas , Transactions of the American Mathematical Society vol .329 ( 2 ) : 813–818 , MR : 1046016 , < http://www.ams.org /journals/tran/1992-329-02/S0002-9947-1992-1046016-6/ > Archivado el 1 de noviembre de 2015 en Wayback Machine .

Desigualdad de Loyasevich

Redacción

Literatura

Notas