Integral impropia

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Una integral definida se llama impropia si se cumple al menos una de las siguientes condiciones.

El área de integración es infinita. Por ejemplo, es un lapso infinito . $[a,+\infty)$
La función es ilimitada en la vecindad de algunos puntos del dominio de integración. $f(x)$

Si el intervalo es finito y la función es integrable de Riemann , entonces el valor de la integral impropia coincide con el valor de la integral definida . $[a,b]$

Integrales impropias de primera especie

Sea definida y continua en el intervalo y . Después: $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx$

Si , entonces se usa la notación y la integral se llama integral de Riemann impropia de primera especie . En este caso se llama convergente. $\exists \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ $I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$
Si no hay finito ( o ), entonces la integral se llama divergente a " ", " ", o simplemente divergente. $\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx$ $\pm \infty$ $\existe$ $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Sea definido y continuo en el conjunto de y . Después: $f(x)$ $(-\infty,b]$ $\forall B < b \Rightarrow \exists \int\limits_{B}^{b} f(x)dx$

Si , entonces se usa la notación y la integral se llama integral de Riemann impropia de primera especie . En este caso se llama convergente. $\exists \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$ $I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$
Si no hay finito ( o ), entonces la integral se llama divergente a " ", " ", o simplemente divergente. $\lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx$ $\pm \infty$ $\existe$ $\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Si la función es definida y continua en toda la línea real, entonces puede haber una integral impropia de esta función con dos límites infinitos de integración, que se determina mediante la fórmula: $f(x)$

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{+ \infty} f(x)dx$ , donde c es un número arbitrario.

El significado geométrico de una integral impropia de primer tipo

La integral impropia del primer tipo expresa el área de un trapezoide curvilíneo infinitamente largo.

Ejemplos

$\int \limits_{-\infty}^{-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim_{a\to -\infty}\int \limits_{a}^ {-1}{1 \sobre x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }{\Bigl .}-{\frac {1}{x}}{\Bigr |}_{ a}^{-1}=1+\lim _{a\to -\infty }{\frac {1}{a}}=1+0=1$

Integrales impropias de segunda clase

Let está definido sobre , sufre una discontinuidad infinita en el punto x = ay . Después: $f(x)$ $(a,b]$ $\forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta)$

Si , entonces se usa la notación y la integral se llama integral de Riemann impropia de segunda especie . En este caso, la integral se llama convergente. $\existe \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$
Si o , la designación se conserva, pero se denomina divergente de " ", " " o simplemente divergente. $\lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty$ $\existe)$ $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Let está definido sobre , sufre una discontinuidad infinita para x = b y . Después: $f(x)$ $[a, b)$ $\forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{b-\delta} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta)$

Si , entonces se usa la notación y la integral se llama integral de Riemann impropia de segunda especie . En este caso, la integral se llama convergente. $\existe \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$
Si o , la designación se conserva, pero se denomina divergente de " ", " " o simplemente divergente. $\lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty$ $\existe)$ $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Si la función sufre una discontinuidad en un punto interno del segmento , entonces la integral impropia de segundo tipo se determina por la fórmula: $f(x)$ $C$ $[a;b]$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b} f(x)dx.$

El significado geométrico de las integrales impropias de segundo tipo

Una integral impropia del segundo tipo expresa el área de un trapezoide curvilíneo infinitamente alto.

Ejemplo

$\int\limits_{0}^{1} {dx \over x} = \lim_{\delta \to 0+0} \Bigl. \ln|x| \Bigr|_{0+\delta }^1 = 0 - \lim_{\delta \to 0+0} \ln \delta = + \infty$

Caso único

Deje que la función esté definida en todo el eje real y tenga una discontinuidad en los puntos . $f(x)$ $x_1,x_2,\puntos,x_k$

Entonces podemos encontrar la integral impropia $\int\limits_{-\infty }^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty }^{x_1} f(x)dx + \sum_{j=1}^{k -1} {\int\limits_{x_j}^{x_{j+1}} f(x)dx}+ \int\limits_{x_k}^{+\infty} f(x)dx$

Criterio de Cauchy

1. Que se defina en el conjunto de y . $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx$

luego converge

\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists A(\varepsilon )>a:\forall (A_{2}>A_{1}>A)\Rightarrow \left|\,\int \limits_{ A_{1}}^{A_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon

2. Sea definido en y . $f(x)$ $(a,b]$ $\forall \delta >0\ \exists \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx$

luego converge

\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\Rightarrow \exists \delta (\varepsilon)>0:\forall (0<\delta _{1}<\delta _{2}<\delta )\Rightarrow \left |\,\int \limits _{a+\delta _{1}}^{a+\delta _{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon

Convergencia absoluta

Una integral se llama absolutamente convergente si converge. Si una integral converge absolutamente, entonces converge. $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} f(x)dx\right)$ $\int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} |f(x)|dx\right)$

Convergencia condicional

Una integral se llama condicionalmente convergente si converge pero diverge. $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \$ $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \$ $\int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \$

Véase también

Integral de Riemann
Integral de Lebesgue
El método Samokish es un método numérico para calcular integrales con singularidades.

Literatura

Dmitry Escrito. Apuntes de clase sobre matemáticas superiores, parte 1. - Iris Press, 2007. - S. 233-237.

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