Paradoja de Cramer

La paradoja de Cramer o la paradoja de Euler-Cramer [1] es la afirmación de que el número de puntos de intersección de dos curvas de alto orden en un plano puede ser mayor que el número de puntos arbitrarios que normalmente se necesitan para determinar de forma única cada una de esas curvas. La paradoja lleva el nombre del matemático ginebrino Gabriel Cramer .

La paradoja es el resultado de una comprensión ingenua de dos teoremas:

Tenga en cuenta que para todos , por lo que parece ingenuo que para potencias de tres y más, podría haber suficientes puntos de intersección de dos curvas para definir ambas curvas de manera única.

El problema es que en algunos casos degenerados, n ( n + 3) / 2 puntos no es suficiente para definir de forma única la curva.

Historia

La paradoja fue publicada por primera vez por Maclaurin [2] [3] . Cramer y Euler mantuvieron correspondencia sobre la paradoja en 1744-1745 y Euler le explicó el problema a Cramer [4] . El problema llegó a llamarse paradoja de Cramer después de la publicación de Cramer en 1750 de Introducción al análisis de las líneas courbes algébriques , aunque Cramer señaló a Maclaurin como la fuente de la afirmación [5] . Casi al mismo tiempo, Euler publicó ejemplos que mostraban que una curva cúbica puede no estar definida únicamente por 9 puntos [4] [6] y discutió el problema en su libro Introductio in analysin infinitorum . El resultado fue publicado por James Stirling y explicado por Julius Plücker [1] .

No hay paradoja para secciones cónicas rectas y no degeneradas

Para curvas de primer orden (es decir, líneas rectas ), la paradoja no aparece, ya que n \u003d 1, entonces n 2 \u003d 1 < n ( n + 3) / 2 \u003d 2. En general, dos diferentes las líneas L 1 y L 2 se intersecan en un punto P , a menos que las líneas tengan la misma pendiente, en cuyo caso las líneas no se intersecan en absoluto. Un punto no es suficiente para definir de forma única una línea recta (se necesitan dos). No dos, sino infinitas líneas pasan por el punto P.

De manera similar, dos secciones cónicas no degeneradas se intersecan en un máximo de 4 puntos finales y se necesitan 5 puntos para definir de manera única una curva no degenerada.

Ejemplo de Cramer para curvas cúbicas

En una carta a Euler, Cramer señaló que las curvas cúbicas y se intersecan exactamente en 9 puntos (cada ecuación representa un conjunto de tres líneas paralelas y respectivamente). Resulta que estos 9 puntos no son suficientes para una definición única de una curva cúbica, por lo que, al menos en el caso degenerado, la afirmación se cumple.

Notas

  1. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. "Paradoja de Cramér-Euler". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Cramer-EulerParadox.html Archivado el 3 de febrero de 2018 en Wayback Machine .
  2. ↑ Maclaurin, 1720 .
  3. ↑ Tweedie, 1891 , pág. 87–150.
  4. ↑ 1 2 Struik, 1969 , pág. 182.
  5. ↑ Tweedie, 1915 , pág. 133–151.
  6. ↑ Euler, 1750 , pág. 219-233.

Literatura

Enlaces